Disuguaglianza di Pólya-Szegő

In analisi funzionale, una branca della matematica, la disuguaglianza di Pólya-Szegő o disuguaglianza di Szegő afferma che se una funzione appartiene allo spazio di Sobolev $W^{1,p}$ allora anche il suo riordinamento radiale appartiene a tale spazio; inoltre il riordinamento ha norma minore o al più uguale.

La disuguaglianza

Siano $1\leq p<+\infty$ e $u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}$ di $W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})$. Allora vale:

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u^{*}|^{p}d{\mathcal {H}}^{n}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{p}d{\mathcal {H}}^{n}$

Dimostrazione

La dimostrazione fa uso della disuguaglianza di Hölder, della formula di coarea e della disuguaglianza isoperimetrica, ed è più semplice nel caso in cui $p>1$. Sia $\Omega$ un aperto contenente il compatto su cui è definita la funzione.

Le funzioni $C^{\infty }$ a supporto compatto in $\Omega$ sono un sottoinsieme denso di $W_{0}^{1,p}(\Omega )$. Si può trovare quindi una successione $u_{k}$ tale che $u_{k}\to u$ in norma $W^{1,p}(\Omega )$. Le $u_{k}$ sono chiaramente Lipschitziane essendo almeno $C^{1}(\Omega )$ e a supporto compatto. Per le funzioni Lipschitziane vale:

$\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u_{k}^{*}(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\leqslant \left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u_{k}(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}$

La successione di funzioni $u_{k}$ è convergente in $W^{1,p}(\Omega )$, e quindi limitata. Quindi la successione $u_{k}^{*}$ è limitata in $W^{1,p}(\Omega )$. Lo spazio $W^{1,p}(\Omega )$ è uno spazio riflessivo, esiste allora una sottosuccessione debolmente convergente. Cioè esiste $v\in W^{1,p}(\Omega )$ tale che:

$u_{k_{j}}^{*}{\overset {W^{1,p}}{\rightharpoonup }}v$

e per la semicontinuità della norma in topologia debole:

${\begin{aligned}\|v\|_{W_{1,p}}&\leqslant \liminf _{j\to \infty }\|u_{k_{j}}^{*}\|_{W_{1,p}}\\&\leqslant \liminf _{j\to \infty }\|u_{k_{j}}\|_{W_{1,p}}\\&=\|u\|_{W_{1,p}}\end{aligned}}$

La convergenza debole in $W^{1,p}$ implica la convergenza forte in $L^{p}$ e la convergenza forte implica l'esistenza di una sottosuccessione convergente puntualmente. Quindi a meno di passare a una sottosuccessione si può supporre $u_{k}^{*}\to v$ puntualmente. Essendo $\Omega$ limitato si ha l'inclusione compatta di $W^{1,p}(\Omega )$ in $L^{p}(\Omega )$ e quindi a meno di passare a una sottosuccessione si può supporre che anche $u_{k}\to u$ puntualmente. Il limite puntuale delle riarrangiate coincide con la riarrangiata dei limiti puntuali, quindi si ottiene che $v=u^{*}$.

Bibliografia

• (EN) G. A. Anastassiou, Fractional Differentiation Inequalities, Springer, Dordrecht, 2009. ISBN 978-0-387-98127-7 (Print) 978-0-387-98128-4 (Online)
• (EN) Z. Dahmani; L. Tabharit, On weighted Grüss type inequalities via fractional integration, J. Adv. Res. Pure Math. 2 (2010), 31{38.

Voci correlate

• Formula di coarea
• Gábor Szegő
• George Polya
• Riordinamento radiale
• Spazio di Sobolev
• Teorema di Brothers-Ziemer

Collegamenti esterni

• (EN) Ahmed Anber, Zoubir Dahmani - New integral results using Pólya–Szegő inequality, su acutm.math.ut.ee.
• (EN) Hichem Hajaiej - Generalized Polya-szego Inequality (PDF), su arxiv.org.