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Dominio e codominio

insieme dei valori su cui una funzione è definita

In matematica il dominio e il codominio di una funzione sono gli insiemi su cui è definita la funzione la quale associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.

Definizione di funzioneModifica

In matematica una funzione è il dato di tre oggetti: un dominio  , un codominio   e una legge   che associa ad ogni elemento   di   uno e un solo elemento di   che viene indicato  . Una funzione viene definita indicando tutti e tre questi oggetti, che vengono raccolti nella notazione

 

o nella notazione equivalente

 

È importante notare che il dominio e il codominio devono essere definiti prima della legge di applicazione, e che tutti assieme questi oggetti definiscono una funzione. In particolare, senza indicare il dominio e il codominio non può essere definita alcuna funzione.

Ad esempio, per ogni insieme   è ben definita una funzione identità su  , con dominio  , codominio   e legge di applicazione  :

 

Omettendo dominio e codominio, la sola legge di applicazione   non è ben definita e non definisce alcuna funzione.

Insieme di definizioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Insieme di definizione.

In alcuni ambienti si usa sottintendere il dominio e il codominio di una funzione reale di variabile reale (cioè con dominio e codominio contenuti nell'insieme dei numeri reali) quando il dominio è pari all'insieme di definizione della funzione e il codominio è l'intero insieme dei numeri reali.

Ad esempio,

nell'ambito delle funzioni reali di variabile reale,   potrebbe sottintendere un dominio   e un codominio  ;
  ha certamente dominio   e codominio  ;
  ha certamente dominio   e codominio  .

Dunque nel sottintendere dominio e codominio, ci si limita a sottoinsiemi dei numeri reali e si rinuncia a studiare le proprietà di una funzione (come iniettività, suriettività, morfismo).

Insieme immagineModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Immagine (matematica).
 
  rappresenta il codominio della funzione  ; l'insieme denotato con  , che è sempre incluso in  , è invece l'immagine di  .

Come il dominio, anche il codominio è parte integrante della definizione di funzione e senza di esso non è possibile definire una legge di applicazione.

Da un punto di vista puramente computazionale, ovvero se ci si interessa alle sole immagini   dei singoli elementi del dominio, si considera il solo insieme delle immagini, o immagine  , che è un sottoinsieme del codominio.

È sempre possibile definire una nuova funzione

 

che è talvolta identificata con la funzione stessa, pur avendo diverse proprietà (come suriettività o morfismo).

Ad esempio, nel calcolo di   vengono identificate le due funzioni

 
 

anche se solo la seconda è un isomorfismo tra il gruppo   e il gruppo  .

In analisi complessaModifica

In analisi complessa con dominio solitamente si indica un sottoinsieme aperto e connesso di  .

TopologiaModifica

In topologia per dominio si intende la chiusura di un insieme aperto. Inoltre, se il suddetto aperto manifesta la proprietà della connessione, anche il dominio può dirsi connesso.

BibliografiaModifica

  • G. Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari di matematica vol 2, Padova, CEDAM, 1990, ISBN 88-13-16854-3

Voci correlateModifica

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