Forma di volume

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In geometria differenziale, una forma di volume è una particolare -forma differenziale utile a definire una misura su una varietà differenziabile, e quindi un metodo per definire una nozione di volume all'interno di questa.

DefinizioneModifica

Una forma di volume su una varietà differenziabile   di dimensione   è una  -forma differenziale che non si annulla in nessun punto

In una carta locale, la forma si scrive come

 

dove   è un numero reale dipendente dal punto  . Per ipotesi,   per ogni   [1].

ProprietàModifica

OrientabilitàModifica

Una varietà può avere una forma volume se e solo se è orientabile: questo fatto è spesso usato come definizione di orientabilità. Quindi la bottiglia di Klein ed il piano proiettivo reale non ammettono una forma volume, mentre lo spazio euclideo, la sfera di dimensione arbitraria, il toro ammettono forme volume.

MisuraModifica

Una forma volume   definisce una misura sugli insiemi boreliani   di  , tramite l'integrale

 

Un insieme in   è boreliano se è tale letto in ogni carta.

EsempiModifica

Una forma volume su una varietà è spesso dedotta da altre strutture.

Varietà riemannianaModifica

Una varietà riemanniana orientata ha una forma di volume. Su ogni spazio tangente  , si tratta dell'unico tensore antisimmetrico di tipo   che vale

 

su ogni base ortonormale   di  . In una carta, si scrive come

 

dove   è il tensore metrico, che essendo definito positivo ha determinante strettamente positivo in ogni punto.

Varietà pseudoriemannianaModifica

Una varietà pseudo-riemanniana orientata ha una forma di volume, definita in modo analogo, inserendo un valore assoluto:

 

dove   perché   è non degenere in ogni punto.

Varietà simpletticaModifica

Una varietà simplettica ( ,  ) ha una forma volume. La varietà ha dimensione   ed è dotata di una 2-forma differenziale   chiusa e non degenere. Si definisce forma volume simplettica, o la forma di Liouville indotta da   la

 

NoteModifica

  1. ^ Il valore puntuale   dipende dalla carta scelta, ma il fatto che questo sia nullo o meno è indipendente dalla carta, e quindi l'ipotesi è ben posta.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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