Endomorfismo

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In matematica, un endomorfismo di una struttura algebrica è una funzione dall'insieme sostegno della struttura in sé, che preservi le operazioni. In altre parole, è un morfismo della struttura algebrica in sé stessa.

DefinizioneModifica

Sia   un insieme o una struttura. Si definisce endomorfismo una funzione   tale che:

 

L'endomorfismo si può quindi attuare su un insieme generico; in varie applicazioni risulta importante considerare gli endomorfismi basati su spazi vettoriali.

Si indica invece con   l'insieme degli endomorfismi di  

Operazioni binarieModifica

Se un insieme   è dotato di un'operazione binaria  , che associa a due elementi   e   un altro elemento   di   un endomorfismo di   è una funzione   tale che

 

per ogni   e   in   L'esempio più importante di insieme dotato di operazione binaria è il gruppo.

Ad esempio, la funzione   dal gruppo dei numeri interi in sé è un endomorfismo rispetto all'operazione di somma. La funzione   invece no.

Spazi vettorialiModifica

Se   è uno spazio vettoriale, un endomorfismo di   è un'applicazione lineare   da   in sé stesso  

Data la precedente definizione relativa agli spazi vettoriali, è interessante chiedersi, essendo l'immagine dell'endomorfismo un sottoinsieme di   se esistono in   dei sottospazi   di dimensione 1 che sono lasciati invariati per l'azione dell'endomorfismo. Ci si chiede cioè se esistono degli insiemi   tali che  . La ricerca di questi sottospazi è riconducibile alla ricerca di particolari vettori, detti autovettori di  [1].

ProprietàModifica

  • Un endomorfismo che è anche biiettivo è un automorfismo.
  • La funzione identità normalmente è un endomorfismo.
  • La composizione di due endomorfismi è un endomorfismo, e quindi la composizione definisce un'operazione binaria su  
  • Definiamo determinante di un endomorfismo   su uno spazio vettoriale di dimensione finita:  , ossia il determinante della matrice associata. Esso non dipende dalla base  
  • Definiamo traccia di un endomorfismo   su uno spazio vettoriale di dimensione finita:  , ossia la traccia della matrice associata. Essa non dipende dalla base  

NoteModifica

  1. ^ M. Landucci, Argomenti di geometria, Firenze, 1996, p. 222.

Voci correlateModifica

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