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1leftarrow blue.svgVoce principale: Corda vibrante.

L'equazione della corda vibrante è il caso unidimensionale dell'equazione delle onde, ed è usata per descrivere il fenomeno della corda vibrante. L'equazione per le vibrazioni libere della corda (equazione omogenea) è:

mentre l'equazione per le corde vibranti forzate (o trasversali) è:

In generale la soluzione dipende da due condizioni iniziali:

che in caso di corda infinita devono essere condizioni definite in tutto . Nel caso la corda sia finita e di lunghezza , si devono invece imporre le ulteriori condizioni sulla variabile :

Soluzione di D'AlembertModifica

La soluzione di D'Alembert consiste nella sostituzione:

 

L'equazione omogenea si trasforma di conseguenza; derivando una prima volta:

 

e derivando una seconda volta:

 

Dunque:

 

la cui soluzione generale è data da:

 

Si determinano le due funzioni generiche   e   imponendo le condizioni iniziali:

 

da cui si ha:

 

Si può integrare la seconda del sistema (cambiando segno):

 

nella quale si impone  . Dal sistema:

 

che diventa:

 

si ha la soluzione dell'equazione vibrante libera:

 

Casi particolariModifica

  • Nel caso le condizioni iniziali siano:
 
la soluzione diventa:
 
  • Nel caso le condizioni iniziali siano:
 
la nostra soluzione diventa:
 

Metodo di FourierModifica

Nel caso di una corda di lunghezza finita di lunghezza  , con le condizioni aggiuntive ai limiti, è intuitivo usare il metodo di separazione delle variabili o "metodo di Fourier". Consiste nella ricerca di una soluzione particolare dell'equazione omogenea del tipo:

 

cioè con il prodotto di due termini, di cui uno dipendente solo dalla variabile   e l'altro solo dalla variabile  . Sostituendo nell'equazione omogenea e derivando due volte si ottiene:

 

da cui:

 

Affinché sussista la disuguaglianza, entrambi i membri devono essere uguali alla stessa costante:

 

dalla quale si ottengono due equazioni in una sola variabile:

 

Le soluzioni di queste equazioni sono del tipo:

 

Dunque la soluzione generale dell'equazione omogenea diverrebbe:

 .

I coefficienti   e   si calcolano imponendo le condizioni ai limiti:

 

da cui:

 

e quindi:

 

La soluzione negativa è identica a quella positiva, per cui si considera solo quella positiva. Sapendo che la soluzione è:

 .

dal momento che si tratta di una soluzione anche tutte le somme sono soluzioni; dunque si può scegliere   e sommare:

 

Ora si possono trovare i coefficienti   e   in modo da soddisfare le condizioni iniziali. Derivando quest'ultima rispetto a   e imponendo   si ottiene:

 

che sono gli sviluppi in serie di Fourier delle   in serie di seni in  . In definitiva:

 

che sostituiti forniscono la soluzione:

 

BibliografiaModifica

  • (EN) Molteno, T. C. A.; N. B. Tufillaro (September 2004). "An experimental investigation into the dynamics of a string". American Journal of Physics 72 (9): 1157–1169.
  • (EN) Tufillaro, N. B. (1989). "Nonlinear and chaotic string vibrations". American Journal of Physics 57 (5): 408.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica