Equazione di Bernoulli instazionaria

In fluidodinamica, e in particolare nell'ambito del moto a potenziale può talvolta essere utile generalizzare la famosa equazione di Bernoulli per il caso di flusso non stazionario.

L'Equazione di Eulero per un fluido incomprimibile si riduce a:

dove è la densità del fluido, è la sua accelerazione, è la pressione, è il vettore accelerazione di gravità. La derivata materiale a primo membro è esprimibile come:

Introducendo ora l'ipotesi di flusso irrotazionale si avrà:

Sempre grazie alla condizione di irrotazionalità, la velocità è esprimibile come , dove la funzione scalare è detta potenziale di velocità. Quindi avremo:

Sostituendo ora quanto ottenuto all'interno dell'equazione di Eulero otterremo:

da cui, essendo :

Si ottiene infine:

che è l'equazione di Bernoulli per flusso newtoniano, incomprimibile, non viscoso (ed in generale non stazionario) espressa in termini del potenziale di velocità , mentre è una generica funzione del tempo. Senza perdere di generalità, è comunque possibile porre

BibliografiaModifica

  • Batchelor G. K. (1967), An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press