Equazione di Fokker-Planck

In matematica e nella teoria della probabilità, l'equazione di Fokker-Planck, il cui nome è dovuto a Adriaan Fokker e a Max Planck, detta anche equazione anticipativa di Kolmogorov, descrive l'evoluzione temporale della funzione di densità di probabilità della posizione di una particella, e può essere generalizzata ad altri enti osservabili.[1]

Una soluzione ad un'equazione di Fokker-Planck monodimensionale, con termine di diffusione. La condizione iniziale è una distribuzione delta di Dirac in x=1: la distribuzione si allarga e sposta il centro (drift) ad x=0.

Il primo impiego dell'equazione di Fokker-Planck fu la descrizione statistica del moto browniano di una particella in un fluido. In una dimensione spaziale , l'equazione di Fokker-Planck per un processo con termine di deriva e termine di diffusione è:

Più in generale, la probabilità tempo-dipendente della distribuzione potrebbe dipendere da un set di macrovariabili . La forma generale dell'equazione di Fokker-Planck è quindi:

dove è il vettore di direzione e il tensore di diffusione, quest'ultimo dei quali risulta dalla presenza della forza stocastica.

L'equazioneModifica

In una dimensione, per un processo di Itō dato dall'equazione differenziale stocastica:

 

con   la velocità di deriva,   il coefficiente di diffusione e   un processo di Wiener, l'equazione di Fokker-Planck per la densità di probabilità   di una variabile casuale   è data da:

 

Utilizzando la variante di Stratonovich, il processo stocastico può essere scritto come:

 

che include un termine aggiuntivo nella velocità di deriva originato da rumore dovuto ad effetti legati al gradiente di diffusione. Ogni soluzione dell'equazione differenziale stocastica di Stratonovich è anche soluzione dell'equazione differenziale stocastica di Itō.

In generale, dato un vettore N-dimensionale   di variabili casuali e un processo di Wiener standard M-dimensionale  :

 

la densità di probabilità   per il vettore   soddisfa l'equazione di Fokker-Planck:

 

con   il vettore velocità deriva, e il tensore di diffusione che è dato da:

 

Se si considera l'equazione differenziale stocastica di Stratonovich:

 

la relazione di Fokker-Planck assume la forma:

 

Relazioni tra equazioni con differenziale stocasticoModifica

L'equazione di Fokker-Planck può essere utilizzata per calcolare la probabilità delle densità delle equazioni differenziali stocastiche. Considerando l'equazione differenziale di Itō:

 

dove  è lo stato e   è un processo di Wiener M-dimensionale standard. Se la distribuzione iniziale è  , allora l'ampiezza di probabilità   dello stato   è data da un'equazione di Fokker-Planck con direzione e termini di diffusione:

 

Similmente, un'equazione di Fokker-Planck può essere derivata per l'equazione differenziale stocastica di Stratonovich. In questo caso, i termini di direzione provocati dal suono si rivelano se la lunghezza del suono è stato-dipendente.

EsempioModifica

Un processo di Wiener scalare standard è generato dall'equazione stocastica differenziale:

 

Il termine di direzione è zero, il coefficiente di diffusione è 1/2 e l'equazione di Fokker-Planck corrispondente è:

 

che è la forma più semplice di equazione di diffusione.

Moto brownianoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Moto browniano.

Nel caso di una particella che si muova nel quadro dell'equazione di Smoluchowski (che concerne le particelle tali che  , tipicamente le molecole o gli oggetti di massa "trascurabile"):

 

ove   è un rumore bianco,   il coefficiente di viscosità e   un campo di forze. Se   è la probabilità di trovare la particella nel punto   all'istante  , per applicazione del lemma di Itō si ottiene:

 

ove   è il coefficiente di diffusione. Una particolare equazione di Fokker-Planck permette, con delle condizioni a contorno e nell'origine adeguate, di studiare il movimento browniano di una particella in un campo di forze.

Considerazioni di calcoloModifica

Il moto browniano segue l'equazione di Langevin, che può essere risolta per molte differenti forzanti stocastiche, che risultano essere mediate (il metodo Monte Carlo, insieme canonico in dinamica molecolare). Tuttavia, al posto di questo approccio intensivo di calcolo, si può utilizzare l'equazione di Fokker-Planck e considerare  , ossia la funzione di probabilità di densità di una particella che ha una velocità nell'intervallo  , quando inizia il suo moto con   a tempo=0.

SoluzioneModifica

Essendo un'equazione differenziale alle derivate parziali, l'equazione di Fokker-Planck può essere risolta analiticamente solo in casi particolari. L'analogia formale di questa equazione con l'equazione di Schrödinger consente di usare un operatore tecnico speciale conosciuto dalle meccaniche quantiche per la sua soluzione in un certo numero di casi.

In molte applicazioni si è solo interessati allo stato costante di probabilità della distribuzione  , che può essere trovata da  . Il calcolo dei tempi di passaggio iniziale principale e le probabilità di scissione possono essere ridotte alla soluzione di un'equazione differenziale ordinaria che è intimamente legata all'equazione di Fokker-Planck.

Integrale sui camminiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale sui cammini.

Ogni equazione di Fokker-Planck è equivalente ad un integrale sui cammini: tale formulazione è un ottimo punto di partenza per l'applicazione dei metodi della teoria dei campi.[2]

Dal momento che l'equazione di Fokker-Planck è formalmente equivalente all'equazione di Schrödinger, la si scriva (in una variabile  ) nella forma:

 

La derivata rispetto a   interessa solo la funzione a  , e non  . Integrando su un intervallo temporale  :

 

Inserendo l'integrale di Fourier per la funzione  :

 

si ha:

 

Questa equazione esprime   come un funzionale su  . Iterando   volte e facendo il limite per   si ha l'integrale sui cammini, con Lagrangiana data da:

 

Anche se in modo formalmente differente, sono molti i problemi che sono affrontati tramite l'equazione di Fokker-Planck o la sua formulazione integrale.

Particolari casi con soluzione nota e inversioneModifica

In Matematica finanziaria nel contesto della modellizzazione dello smile di volatilità per opzioni tramite modelli di volatilità locale, si presenta l'esigenza di derivare il coefficiente di diffusione   coerente con una curva di densità dedotta dai prezzi di mercato delle opzioni. Si tratta quindi di invertire l'equazione di Fokker-Planck: data la densità f(x,t) dedotta dal mercato per il sottostante   dell'opzione, si desidera ricavare la volatilità locale   coerente con  . Questo è un problema inverso che è stato risolto da Dupire (1994, 1997) in generale in forma non-parametrica, e da Brigo e Mercurio (2002, 2003) in forma parametrica tramite l'introduzione di una particolare volatilità locale   coerente con una soluzione dell'equazione di Fokker-Planck data da una mistura di densità. Si vedano anche i testi di Fengler (2008), Gatheral (2008) e Musiela e Rutkowski (2008).

NoteModifica

  1. ^ Leo P. Kadanoff, Statistical Physics: statics, dynamics and renormalization, World Scientific, 2000, ISBN 981-02-3764-2.
  2. ^ Zinn-Justin, Jean, Quantum field theory and critical phenomena, Oxford, Clarendon Press, 1996, ISBN 0-19-851882-X.

BibliografiaModifica

  • Aleardo Adotti; Damiano Brigo; Fabio Mercurio, Uno Smile per Combinazione, Risk Italia, marzo 2001, p. 64-68
  • Damiano Brigo, Fabio Mercurio, Francesco Rapisarda. Smile con volatilità incerta, Risk Italia (2004)
  • (EN) Hannes Risken, The Fokker–Planck Equation: Methods of Solutions and Applications, 2nd edition, Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 3-540-61530-X.
  • (EN) Crispin W. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods, 3rd edition (paperback), Springer, ISBN 3-540-20882-8.
  • (EN) Dupire, B. (1994) "Pricing with a Smile". Risk Magazine, January, 18-20.
  • (EN) Dupire, B. (1997). "Pricing and Hedging with Smiles. Mathematics of Derivative Securities". Edited by M.A.H. Dempster and S.R. Pliska, Cambridge University Press, Cambridge, 103-111.
  • (EN) Brigo, D, Mercurio, F, "Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles", International Journal of Theoretical and Applied Finance, 2002, Vol: 5.
  • (EN) Brigo, D, Mercurio, F, Sartorelli, G, Alternative asset-price dynamics and volatility smile, QUANT FINANC, 2003, Vol: 3, Pages: 173 - 183, ISSN 1469-7688
  • (EN) Fengler, M. R. (2008). Semiparametric Modeling of Implied Volatility, 2005, Springer Verlag.
  • (EN) Gatheral, J. (2008). The Volatility Surface. Wiley and Sons.
  • (EN) Marek Musiela, Marek Rutkowski. Martingale Methods in Financial Modelling, 2008, 2nd Edition, Springer-Verlag.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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