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In fisica l'equazione di Smoluchowski, il cui nome è dovuto a Marian von Smoluchowski, è la correzione della seconda legge di Fick con l'aggiunta di un termine di smorzamento che ha origine da una forza smorzata da un attrito viscoso con coefficiente tendente a spostare la densità verso regioni a minima energia potenziale .[1]

Sia una concentrazione, la costante di diffusione, il fattore di spostamento e un'energia potenziale. Allora l'equazione di Smoluchowski descrive l'evoluzione temporale della densità secondo l'equazione:

L'equazione è consistente con il moto di una particella che obbedisce ad un'equazione differenziale stocastica, con termine e diffusività .

L'equazione di Smoluchowski è formalmente identica all'equazione di Fokker-Planck, con l'unica differenza nell'interpretazione fisica di : una distribuzione di particelle nello spazio nel primo caso, di velocità nel secondo.

Indice

Soluzione stazionariaModifica

Una soluzione all'equazione di Smoluchowski invariante nel tempo è:

 

dove   è una costante di normalizzazione. Quindi nello stato stazionario si trovano alte concentrazioni in presenza di bassi potenziali, e l'accumulazione è maggiore quando la diffusività   o la   sono piccole. La distribuzione è formalmente identica alla distribuzione canonica della fisica statistica, e strettamente legata alla distribuzione di Boltzmann.

Altre equazioni di SmoluchowskiModifica

Nella prima metà del XX secolo diverse equazioni venivano chiamate equazioni di Smoluchowski. In una rassegna,[2] Chandrasekhar affermava nel 1943 che l'equazione di diffusione con termine di spostamento "viene talvolta chiamata equazione di Smoluchowski"; da allora, è diventato d'uso in letteratura. Vi sono anche l'equazione di coagulazione di Smoluchowski e la relazione di Einstein–Smoluchowski.

NoteModifica

  1. ^ M. v. Smoluchowski, Über Brownsche Molekularbewegung unter Einwirkung äußerer Kräfte und den Zusammenhang mit der verallgemeinerten Diffusionsgleichung, Ann. Phys. 353 (4. Folge 48), 1103–1112 (1915) http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/pms/pms2/pms2132.pdf
  2. ^ S. Chandrasekhar, Rev. Mod. Phys. 15, 1 (1943), equation (312).

Voci correlateModifica

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