Equazione differenziale alle derivate parziali parabolica

Un'equazione differenziale alle derivate parziali parabolica è un tipo di equazione differenziale alle derivate parziali (EDP) che può essere usata per descrivere diversi problemi scientifici come la diffusione del calore, o la diffusione delle onde sonore in acqua, in sistemi fisici e matematici con variabile temporale e che si comportano come la diffusione del calore all'interno di un solido.

Esempi di EDP paraboliche sono l'equazione del calore e il flusso di Ricci.

DefinizioneModifica

Una EDP della forma:

 

è parabolica se soddisfa la condizione:

 

Questa definizione è analoga a quella di una parabola nel piano in geometria analitica.

Un semplice esempio di EDP parabolica è l'equazione del calore nel caso unidimensionale:

 

dove   è la temperatura al tempo   e alla posizione  , e   è costante.

Il simbolo   rappresenta la derivata parziale rispetto al tempo e allo stesso modo   è la derivata parziale seconda rispetto a  .

Questa equazione stabilisce che la temperatura di un dato punto a un determinato istante crescerà o scenderà con un tasso proporzionale alla differenza tra la temperatura a quel punto e la temperatura media attorno al punto. La quantità   indica quanto la temperatura è distante dal soddisfare la proprietà del valor medio delle funzioni armoniche.

Una generalizzazione dell'equazione del calore è:

 

dove   è un operatore ellittico del second'ordine (ciò implica che   sia anche positivo; il caso in cui   è non-positivo è descritto sotto). Un sistema di questo tipo può essere nascosto in un'equazione della forma

 

se la funzione matriciale   ha un nucleo di dimensione 1.

SoluzioneModifica

Le EDP paraboliche di cui si è discusso hanno soluzione per ogni  ,   e  . Un'equazione della forma:

 

si considera parabolica se   è funzione (eventualmente non lineare) di   e delle sue derivate prima e seconda, con altre condizioni su  . Con in tale tipo di equazione parabolica non lineare, esistono soluzioni per un periodo di tempo limitato: le soluzioni potrebbero dare luogo a singolarità anche per tempi finiti. La difficoltà dunque è determinare le soluzioni per tutto l'arco temporale, o più generalmente studiare le singolarità che sorgono. Questo è in generale abbastanza difficile, come nella soluzione della congettura di Poincaré attraverso il flusso di Ricci.

Equazioni paraboliche all'indietroModifica

Si potrebbero considerare EDP della forma:

 

dove   è un operatore ellittico positivo. Questi problemi non sono necessariamente ben posti (le soluzioni potrebbero non esistere o crescere indefinitamente in tempi finiti), essi occorrono studiando la riflessione delle singolarità delle soluzioni a EDP diverse.[1]

Questa classe di equazioni è abbastanza legata alle normali equazioni iperboliche, che possono essere viste semplicemente considerando le cosiddette equazioni del calore all'indietro:

 

Questa è essenzialmente la stessa cosa che avviene per le equazioni iperboliche all'indietro:

 

NoteModifica

  1. ^ M. E. Taylor, Reflection of singularities of solutions to systems of differential equations, in Comm. Pure Appl. Math., vol. 28, n. 4, 1975, pp. 457–478, DOI:10.1002/cpa.3160280403.

BibliografiaModifica

  • Lawrence C. Evans, Partial differential equations (PDF)[collegamento interrotto], Graduate Studies in Mathematics, vol. 19, 2nd, Providence, R.I., American Mathematical Society, 2010 [1998], 2597943.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

Controllo di autoritàThesaurus BNCF 21003 · LCCN (ENsh85037909 · GND (DE4173245-5 · BNF (FRcb119312635 (data)
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica