Equazione differenziale di Bernoulli

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In matematica, l'equazione differenziale di Bernoulli è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine.

Ridotta in forma canonica, si rappresenta come:

con costante. Se e:

è una soluzione dell'equazione lineare:

allora si ha che è una soluzione di:

e ogni equazione di questo tipo ha una soluzione per per ogni .

Metodo di risoluzioneModifica

Il metodo di risoluzione fu trovato da Jakob Bernoulli I. Per   o   l'equazione è riconducibile immediatamente alla soluzione generale delle equazioni lineari del primo ordine. Il metodo risolutivo generale, con n reale qualunque richiede di dividere l'equazione per   (tenendo conto del fatto che, per  ,   rappresenta una soluzione del primo tipo, e che invece per   la funzione   deve essere necessariamente diversa da 0 per la condizione di esistenza della funzione che la definisce), ottenendo:

 

Si effettua poi la sostituzione  , da cui:

 

si ha:

 

che rientra nel caso generale delle equazioni di primo grado. Riscrivendo come:

 

e integrando, si ottiene:

 

da cui poi si ricava la  .

Una variante consiste nel sostituire direttamente:

 

nell'equazione:

 

in modo che si ha:

 

da cui:

 

quindi sostituendo e semplificando:

 

EsempioModifica

Sia dato:

 

dividendo si ha:

 

ponendo  :

 

e integrando:

 

Ricordando che  , l'unica radice reale per   è:

 

BibliografiaModifica

  • (EN) Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 5th ed. New York: Wiley, p. 28, 1992.
  • (EN) Ince, E. L. Ordinary Differential Equations. New York: Dover, p. 22, 1956.
  • (EN) Rainville, E. D. and Bedient, P. E. Elementary Differential Equations. New York: Macmillian, pp. 69–71, 1964.
  • (EN) Simmons, G. F. Differential Equations, With Applications and Historical Notes. New York: McGraw-Hill, p. 49, 1972.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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