Equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo

Un'equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo è un'equazione differenziale lineare in cui compaiono derivate di ordine generico della funzione incognita.

DefinizioneModifica

Un'equazione differenziale lineare di ordine n completa a coefficienti variabili ha la forma:

 

Una tale equazione è in generale particolarmente difficile da risolvere, qualora sia possibile. Nel caso in cui tutti i coefficienti sono funzioni costanti:

 

l'equazione si risolve trovando una soluzione all'equazione lineare omogenea associata, alla quale si somma una soluzione particolare dell'equazione completa. Il corrispondente problema di Cauchy:

 

è allora risolvibile e fornisce una ed una sola soluzione.

EsempioModifica

Il più facile esempio di equazione differenziale di ordine n è:

 

il cui integrale è facilmente ricavabile:

 

Si tratta di integrare n volte la  .

Un esempio numerico è  , dove integrando tre volte successivamente si ha:

 

Equazione omogeneaModifica

Si può dimostrare che il Wronskiano delle soluzioni dell'equazione differenziale è la soluzione generale dell'equazione omogenea associata. Le soluzioni devono essere indipendenti, e ciò implica che il Wronskiano sia diverso da zero. La sua soluzione si ottiene con una procedura analoga a quella per le equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, in cui si devono trovare le radici dell'equazione caratteristica associata:

 
  • Se le radici   sono tutte distinte allora le soluzioni sono della forma:
 
  • Se una radice, ad esempio  , è soluzione multipla di molteplicità  , allora affinché le sue soluzioni siano indipendenti devono avere la forma:
 
  • Se una radice è unica ed è la complessa coniugata di un'altra, ovvero  , allora:
 
  • Se la radice complessa coniugata   è multipla con molteplicità   si ha:
 
 

La soluzione del problema di Cauchy si ottiene determinando il valore delle n costanti di integrazione che appaiono nella soluzione dell'omogenea.

Equazione completaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Metodo delle variazioni delle costanti.

In generale per risolvere l'equazione caratteristica associata bisogna sommare alla soluzione dell'omogenea una soluzione particolare, ottenibile con il metodo delle variazioni delle costanti o metodo di Lagrange. Nel seguito si considerano alcuni casi particolari:

  • Sia:
 
dove   è un polinomio di grado m. In questo caso si cerca una soluzione particolare del tipo  , dove   è un polinomio formale di grado m. Se tuttavia la soluzione dell'omogenea è nulla, allora si deve cercare una soluzione del tipo:
 
  • Sia:
 
dove   è una costante data. Se   non è una radice dell'equazione omogenea associata, si cerca una soluzione particolare del tipo:
 
dove   è una costante da determinare. Nel caso   sia radice di molteplicità   si cerca una soluzione del tipo:
 
  • Sia:
 
dove   è un polinomio di grado m. Se   non è una radice dell'equazione omogenea associata, si cerca una soluzione particolare del tipo:
 
dove   è un polinomio formale di grado m. Nel caso   sia radice di molteplicità   si cerca una soluzione del tipo:
 
  • Se   possiede una delle seguenti espressioni:
 
dove   e   sono costanti date, allora se   non è una radice dell'equazione omogenea associata si cerca una soluzione particolare del tipo:
 
dove   e   sono costanti da determinare. Nel caso   sia radice di molteplicità   si cerca una soluzione del tipo:
 
  • Sia:
 
Per la linearità dell'equazione si può risolvere separatamente:
 
e successivamente sommare le   soluzioni:
 

BibliografiaModifica

  • Arfken, G. "A Second Solution." §8.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467–480, 1985.
  • Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986.
  • Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 667–674, 1953.

Voci correlateModifica

Controllo di autoritàThesaurus BNCF 32488
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