Equazione integrale

Si chiama equazione integrale ogni equazione che ha l'incognita sotto il segno di integrale. Per esempio, l'equazione di risoluzione di un'equazione differenziale è un'equazione integrale: in generale c'è una forte relazione tra equazioni differenziali ed integrali, e alcuni problemi possono essere formulati in entrambi i modi, come ad esempio le equazioni di Maxwell.

Equazioni integrali lineariModifica

Lo studio delle equazioni integrali si divide in due settori, relativi alle equazioni lineari e a quelle non lineari. Un'equazione integrale lineare generica nell'incognita   ha la forma:

 

dove   si chiama nucleo dell'equazione integrale, la funzione   è detta coefficiente e   il termine noto. L'insieme   è un sottoinsieme di uno spazio euclideo. Nel caso in cui   e   sono matrici e  ,   funzioni vettoriali, allora si ha un sistema di equazioni lineari integrali. Se   l'equazione (o sistema) si dice omogenea.

Un'equazione integrale lineare in cui un estremo dell'intervallo di integrazione è variabile viene detta equazione di Volterra:

 

dove   è la funzione incognita.

Se, invece, entrambi gli estremi dell'intervallo di integrazione sono fissi

 

viene chiamata equazione integrale di Fredholm.

Quando la funzione incognita si trova solo sotto il segno di integrale allora si hanno equazioni di Volterra e di Fredholm di prima specie, quelle sopra sono dette di seconda specie.

Equazioni integrali non lineariModifica

Un'equazione di Volterra non lineare ha la forma generale:

 

dove   è una funzione nota.

Un altro esempio è l'equazione di Urysohn:

 

dove   è un sottoinsieme chiuso e limitato di uno spazio euclideo finito-dimensionale e il nucleo   è una funzione data definita per   e  .

Un caso speciale dell'equazione di Urysohn è l'equazione di Hammerstein:

 

dove   e   sono funzioni date.

Soluzione numericaModifica

Spesso le equazioni integrali non hanno una soluzione analitica, e devono essere risolte numericamente. Uno dei metodi utilizzati in tale approccio richiede di discretizzare le variabili e rimpiazzare gli integrali con sommatorie:

 

Si ottiene in questo modo un sistema di n variabili ed altrettante equazioni. Risolvendolo si giunge al valore delle n variabili:

 

Equazione di Wiener-HopfModifica

Equazioni integrali della forma:

 

sono utilizzate nell'ambito del trasporto radiativo, della teoria della diffrazione e per la ricerca di soluzioni nel caso di problemi planari in cui la frontiera del dominio di integrazione è liscia a tratti.

Serie di potenze come soluzioneModifica

In molti casi se il nucleo dell'equazione è della forma   e la trasformata di Mellin di   esiste allora si può trovare la soluzione per l'equazione:

 

nella forma di serie di potenze:

 

dove:

 

sono rispettivamente la trasformata zeta della funzione   e la trasformata di Mellin del nucleo integrale.

Equazioni agli autovaloriModifica

Alcune equazioni integrali si possono ottenere come generalizzazione di equazioni agli autovalori:

 

di cui si fornisce una versione continua:

 

in cui il nucleo rimpiazza la matrice   e l'autofunzione   prende il posto degli autovettori  .

In molti casi il nucleo può essere una distribuzione.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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