Equazioni di Cauchy-Riemann

In matematica, e più precisamente in analisi complessa, le equazioni di Cauchy-Riemann sono due equazioni alle derivate parziali che esprimono una condizione necessaria affinché una funzione sia olomorfa (che, nel campo complesso, equivale alla condizione di analiticità, a differenza di quanto succede nel campo reale). Se sia la parte reale sia quella immaginaria (funzioni reali in due variabili reali) della funzione complessa sono anche differenziabili, oltre a soddisfare le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la condizione per l'olomorfia è anche sufficiente.

Una versione lievemente più generale di queste equazioni esprime una condizione perché una funzione sia armonica.

Cenni storiciModifica

Le equazioni furono usate per la prima volta in alcuni lavori di D'Alembert nel 1752. Successivamente, nel 1777 Eulero stabilì una connessione fra le equazioni e le funzioni analitiche. Cauchy le utilizzò quindi per costruire una teoria delle funzioni olomorfe nel 1814 nell'articolo Sur les intégrales définies. Infine, Riemann ne fece largo uso nella sua tesi nel 1851.

DefinizioneModifica

Sia

 
 

una funzione complessa, definita su un insieme aperto   del piano complesso  , a valori in  . Scritta in questa forma,   e   sono variabili reali, mentre   e   sono funzioni a valori reali, definite su   interpretato come sottoinsieme di   Infine,   è l'unità immaginaria.

Le equazioni di Cauchy-Riemann stabiliscono che:

La funzione   è olomorfa su   se e solo se è differenziabile con derivate parziali continue e verificanti le equazioni

 

Le equazioni possono essere riformulate nell'ambito complesso nel modo seguente:

 

Interpretazione geometricaModifica

Le equazioni corrispondono alla condizione che la matrice jacobiana sia della forma

 

Geometricamente, questo esprime il fatto che la funzione è una mappa conforme. Infatti un tale jacobiano è composizione di rotazioni

 

e omotetie

 

ArmonicitàModifica

Esiste una versione più generale delle equazioni di Cauchy-Riemann che garantisce che una funzione

 

definita su un insieme aperto   di   sia armonica. Poiché una funzione armonica è olomorfa o antiolomorfa, le equazioni sono quelle appena descritte, oppure le opposte

 
 

Queste ultime, se verificate, garantiscono che la funzione è antiolomorfa. Una funzione differenziabile con derivate parziali continue è quindi armonica se e solo se soddisfa queste equazioni oppure quelle sopra. Un esempio di funzione antiolomorfa è la coniugazione complessa

 

Condizione sufficienteModifica

È facile verificare che le equazioni di Cauchy-Riemann garantiscono che la funzione è armonica, nell'ipotesi che   abbia derivate parziali seconde continue. Derivando parzialmente la prima equazione rispetto a   e la seconda rispetto a   si ottengono rispettivamente

 
 

Sommando le due equazioni e usando il teorema di Schwarz si ottiene l'equazione di Laplace

 

che determina l'armonicità di una funzione. Si ottiene un risultato analogo per  .

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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