Equazioni di Eulero-Lagrange

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Le equazioni variazionali di Eulero sono equazioni differenziali del secondo ordine che rivestono un ruolo cardine come modello matematico in meccanica classica e in ottimizzazione. Sono state formulate storicamente per la prima volta da Eulero nell'ambito della meccanica newtoniana e studiate per primo da Joseph-Louis Lagrange nel suo trattato "Mecánique Analitique".

Declinate in meccanica classica, le equazioni di Eulero possono descrivere un sistema meccanico conservativo. In questo contesto si chiamano in particolare equazioni di Lagrange e portano alle equazioni del moto. Il teorema fondamentale della meccanica lagrangiana qui assicura che le equazioni di Lagrange sono equivalenti al secondo principio della dinamica, che mette in relazione la posizione e la velocità di ogni elemento del sistema.[1]

Le equazioni variazionali di Eulero si possono legare direttamente a un principio di minima azione. Nell'ambito del calcolo delle variazioni la loro soluzione è un punto stazionario per un dato funzionale[2]. Il XIX problema di Hilbert riguarda la funzione di Lagrange; la sua soluzione è stata data da Ennio De Giorgi e John Nash nel 1957.

DefinizioneEdit

L'equazione di Eulero per una funzione scalare "f" ha la semplice forma[3]:

 

dove la funzione   viene chiamata lagrangiana, e indicata solitamente con la lettera L o, meglio, con la lettera greca lambda, mentre le sue variabili ( ) sono rispettivamente le sue coordinate, e le loro derivate temporali. Definendo l'operatore derivata euleriana, come:

 

l'equazione di Eulero si può riassumere nell'annullare la variazione Euleriana della funzione:

 


La funzione lagrangiana possiede inoltre derivate parziali prime continue.

Il funzionale associato alla lagrangiana meccanica viene chiamato azione:

 

ha un punto stazionario, il quale, solitamente, è un punto di minimo.

In generale, la funzione di Lagrange può dipendere dalle derivate delle coordinate anche di ordine superiore al primo, e viene definita sul fibrato tangente   di una varietà differenziabile  .

CostantiEdit

La variabile   che è coniugata alla variabile originaria   è definita dall'equazione:

 

Se l'espressione di   non contiene la coordinata generalizzata   si verifica che:

 

In tal caso le equazioni di Eulero-Lagrange mostrano che la variazione temporale di   è nulla, e pertanto si tratta di una costante del sistema; inoltre,   è detta variabile ciclica.

Principio di minima azioneEdit

 Lo stesso argomento in dettaglio: Principio di minima azione.

Si consideri un sistema fisico descritto da   coordinate generalizzate   che evolve tra due stati   e   nell'intervallo temporale compreso tra gli istanti   e  . Il principio variazionale di Hamilton afferma che l'evoluzione del sistema, descritta dalla curva  , è un punto stazionario del funzionale azione   (solitamente un punto di minimo) per piccole perturbazioni della traiettoria. In altri termini, l'evoluzione del sistema tende a minimizzare il valore dell'integrale che definisce l'azione.[1] Dal punto di vista matematico questo si traduce nel fatto che l'evoluzione del sistema fisico è la soluzione dell'equazione variazionale:

 

La richiesta che l'effettiva traiettoria percorsa da un sistema fisico sia un punto stazionario dell'azione   è equivalente alle equazioni di Eulero–Lagrange, come ci si accinge a dimostrare, quindi per transitività se e solo se vale il secondo principio della dinamica. Le equazioni si ricavano introducendo una piccola perturbazione   che si annulla agli estremi del percorso:

 

La perturbazione produce una variazione infinitesima   del funzionale e la funzione integranda è data dal lemma di derivazione degli integrali:

 

Utilizzando l'integrazione per parti per il secondo termine dell'integrando a destra si ottiene:

 

poiché le condizioni al contorno   annullano il primo termine. Il principio di Hamilton richiede che   sia nullo per ogni possibile perturbazione in quanto la traiettoria percorsa è un punto stazionario dell'azione. Tale richiesta è dunque soddisfatta se e solo se valgono le equazioni di Eulero-Lagrange, ovvero se l'integrando è nullo:

 

Meccanica classicaEdit

Si può dimostrare che delle equazioni di Eulero-Lagrange possono descrivere la dinamica dei sistemi meccanici conservativi in modo identico al secondo principio della dinamica di Newton, mentre ciò non è vero per i sistemi non conservativi. Lo studio dei sistemi meccanici conservativi in termini di equazioni di Eulero-Lagrange viene chiamato meccanica lagrangiana, studio effettuato conoscendo la Lagrangiana del sistema, per distinguerlo dalla meccanica newtoniana studiata con il secondo principio della dinamica, conoscendo cioè le componenti delle forze agenti sul sistema. Il vantaggio della meccanica lagrangiana è che in un parametro scalare, cioè la Lagrangiana, sono riassunte tutte le proprietà del sistema conservativo, mentre nella meccanica newtoniana servono molti parametri scalari, ovvero le componenti di tutte le azioni esterne. In tale contesto le equazioni si chiamano usualmente equazioni di Lagrange, in quanto la loro giustificazione fisica è stata compiuta da Lagrange solo, e sono il primo caso storico e il più rilevante in cui sono state applicate le equazioni di Eulero-Lagrange.[senza fonte]

Nello studio di un sistema meccanico   e   vengono fatti coincidere rispettivamente con le coordinate   e le velocità generalizzate  , e le equazioni di Eulero-Lagrange determinano la loro variazione in funzione del tempo, ovvero l'evoluzione del sistema. Si dimostra brevemente qui di seguito la validità della meccanica lagrangiana per sistemi conservativi discreti a massa costante.

Per il secondo principio della dinamica la forza risultante sul sistema è la derivata temporale della quantità di moto:

 

passando in coordinate generalizzate, la forza generalizzata i-esima vale:

 

Le derivate parziali dell'energia cinetica   rispetto alle velocità (detta quantità di moto generalizzata) e le corrispondenti coordinate generalizzate di un sistema costituito da   sottosistemi e a   gradi di libertà sono:

 
 

La derivata totale temporale dell'ultimo termine è la seguente:

 

Si ha pertanto:

 

Se ciascuna parte del sistema ha massa costante si ha:

 

da cui:

 

Si giunge in questo modo alle equazioni in forma I:

 

Le equazioni di Lagrange sono in generale   equazioni differenziali del secondo ordine non lineari in   funzioni del tempo, le coordinate generalizzate, equivalenti perciò ad un sistema di ordine  .[4] In forma vettoriale si ha:

 
 

Ora, notando che in generale la forza generalizzata si può dividere in una componente non conservativa   ed in una conservativa  , e che per definizione:

 

dal momento che l'energia potenziale è funzione delle sole coordinate del sistema:

 

scomponendo la forza ed introducendo quest'ultimo termine nullo nell'equazione del I tipo:

 

si trasformano finalmente le equazioni di moto, in una seconda forma:

 

dove   è per ora semplicemente una nuova quantità. Se la sua matrice hessiana rispetto alle componenti della velocità generalizzata   è invertibile, allora questa si dice regolare e le equazioni di Lagrange sono un sistema del second'ordine. Come si è visto, queste equazioni sono del tutto equivalenti al secondo principio della dinamica nell'approccio newtoniano.

Se e solo se il sistema meccanico è conservativo, cioè la risultante delle forze non conservative è nulla, le equazioni del moto sono del tipo di Eulero-Lagrange:

 

dove il funzionale Lagrangiana è in particolare costituito dalla differenza tra energia cinetica e energia potenziale:

 

Le equazioni della dinamica generali nella seconda forma che abbiamo visto, la differenza con le equazioni di Lagrange sta appunto nel termine inomogeneo costituito dalle forze non conservative, che in generale possono essere presenti. Per via di questo termine, la dinamica dei sistemi meccanici non è in generale descrivibile da equazioni di Eulero-Lagrange, ma solo quella particolare dei sistemi conservativi. Per i sistemi non conservativi le informazioni sul sistema che occorre conoscere, oltre alla Lagrangiana e alle coordinate generalizzate, sono le forze non conservative.

Si è sempre supposto per ora che il sistema sia correttamente parametrizzato, e quindi i parametri lagrangiani siano una base per lo spazio delle fasi. Tuttavia, nel caso in cui questo risulti difficile, è possibile ridurre la condizione di validità delle equazioni solamente ad una parametrizzazione generatrice, facendo a meno della indipendenza lineare tra le coordinate lagrangiane, passando alle equazioni di Appell.

Particelle libere in coordinate polariEdit

Una particella libera di massa   e velocità   in uno spazio euclideo si muove in linea retta conformemente al primo principio della dinamica. Le equazioni di Eulero-Lagrange in coordinate polari modellano il fenomeno come segue. In assenza di potenziale, la Lagrangiana è uguale all'energia cinetica:

 

dove si utilizzano coordinate ortonormali  , ed il punto sopra le coordinate rappresenta la derivata rispetto al parametro della curva (usualmente il tempo  ). In coordinate polari   l'energia cinetica, e dunque la Lagrangiana, diventa:

 

Le componenti radiale   ed angolare   dell'equazione di Eulero-Lagrange sono rispettivamente,

 

Da cui:

 

La soluzione di queste due equazioni è data da:

 
 

per un insieme di costanti   determinate dalle condizioni iniziali. Perciò, la soluzione è una linea retta data in coordinate polari.

Geometria differenzialeEdit

Le equazioni variazionali di Eulero si possono esprimere sotto forma del sistema di equazioni alle derivate parziali:

 

dove   sono le coordinate su di una varietà differenziabile  , solitamente lo spazio-tempo, e   sono le componenti di un campo su questa varietà a valori in una certa "varietà bersaglio"  . Con l'espressione   si indica la derivata totale rispetto alla variabile  .

Più formalmente, i campi possono essere rappresentati come sezioni di un fibrato con base   e fibra  , e per rappresentare le loro derivate occorre allora introdurre il formalismo dei getti.

NoteEdit

  1. ^ a b Landau, Lifshits, Pag. 28.
  2. ^ Fox, Charles (1987). An introduction to the calculus of variations. Courier Dover Publications. ISBN 9780486654997
  3. ^ Hand, Finch, eq. 2.24.
  4. ^ In problemi semplici l'ordine del sistema si può abbassare

BibliografiaEdit

  • Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 1 - Meccanica, Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-6473-202-0.
  • G. Benettin, Appunti per il corso di fisica matematica (PDF), Padova, 2013.
  • Antonio Fasano e Stefano Marmi, Meccanica Analitica, (2002) Bollati Boringhieri, Torino ISBN 88-339-5681-4
  • Dare A. Wells, Dinamica lagrangiana, con 275 esercizi risolti, ETAS, collana Schaum (1984), 353 p. (traduzione di Lagrangian Dynamics, McGraw-Hill, (1967) ISBN 007-069258-0) Una trattazione esaustiva dell'argomento. Edizione italiana fuori catalogo, sembra reperibile solo nelle biblioteche.
  • (EN) Izrail Moiseevish Gelfand, Calculus of Variations, Dover, 1963, ISBN 0-486-41448-5.

Voci correlateEdit

Collegamenti esterniEdit

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