Equazione di Rankine-Hugoniot

In fluidodinamica, l'equazione di Rankine-Hugoniot è una equazione differenziale ordinaria in due variabili derivata dalle equazioni di Eulero per un fluido inviscido nel caso di un'onda d'urto ortogonale al flusso in entrata.

Trattazione semplificata

A partire dalla conservazione della portata, e dell'entropia e con l'assenza di lavoro isocoro, rispettivamente:

$\left\{{\begin{matrix}\operatorname {d} (\rho Av)=0\\\operatorname {v} \operatorname {d} v+p\operatorname {d} {\frac {1}{\rho }}=0\\\end{matrix}}\right.$,

Esplicitando in base alla regola di Leibniz la prima equazione ed esprimendo pressione p in densità e numero di Mach, si ottiene:

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {\operatorname {d} \rho }{\rho }}+{\frac {\operatorname {d} A}{A}}+{\frac {\operatorname {d} v}{v}}=0\\{\frac {\operatorname {d} v}{v}}+{\mathrm {Ma} ^{-2}}{\frac {\operatorname {d} {\rho }}{\rho }}=0\\\end{matrix}}\right.$

Equivalenti alle equazioni di Hugoniot:

• ${\frac {\operatorname {d} A}{A}}-{\frac {1-\mathrm {Ma} ^{2}}{\mathrm {Ma} ^{2}}}{\frac {\operatorname {d} \rho }{\rho }}=0$
• ${\frac {\operatorname {d} A}{A}}+(1-\mathrm {Ma} ^{2}){\frac {\operatorname {d} v}{v}}=0$
• ${\frac {\operatorname {d} A}{A}}-(1-\mathrm {Ma} ^{2}){\frac {\operatorname {d} p}{\rho v^{2}}}=0$

La seconda equazione dimostra chiaramente come, se si voglia accelerare una portata, occorra un condotto convergente in regime subsonico e divergente in regime supersonico. La terza equazione dimostra che con un condotto convergente, in regime subsonico, si realizza un'espansione (e si parla di ugello), mentre in regime supersonico una compressione (e si parla di diffusore).

Trattazione generale

Si consideri un flusso regolare e monodimensionale, soggetto alle equazioni di Eulero e si imponga la conservazione di massa, quantità di moto ed energia. Sotto queste ipotesi, si perviene a tre equazioni, nelle quali si semplificano le due velocità $u_{1}$ and $u_{2}$.

Usualmente, si denotano le condizioni del flusso a monte con il pedice "1" e con il pedice "2" quelle del flusso a valle. In questo contesto, $\rho$ è la densità, $u$ la velocità, $p$ la pressione. Con $e$ indichiamo l'energia interna per unità di massa.

Se a questo punto si considera un gas ideale, l'equazione di stato assume la forma $p=\rho (\gamma -1)e$. Ricordiamo che $\gamma$ è il rapporto fra i calori specifici a pressione costante e a volume costante.

Le seguenti equazioni, dette equazioni di Hugoniot, indicano rispettivamente la conservazione della massa, della quantità di moto e dell'energia, ipotizzate in precedenza:

$\rho _{1}u_{1}=\rho _{2}u_{2}$

$p_{1}+\rho _{1}u_{1}^{2}=p_{2}+\rho _{2}u_{2}^{2}$

$u_{1}\left(p_{1}+\rho _{1}e_{1}+\rho _{1}u_{1}^{2}/2\right)=u_{2}\left(p_{2}+\rho _{2}e_{2}+\rho _{2}u_{2}^{2}/2\right)$

Si notino le tre componenti dell'energia: il lavoro meccanico, l'energia potenziale (interna) e l'energia cinetica.

Risolvendo le prime due equazioni rispetto ad $u_{1}$ e $u_{2}$ per eliminare le due velocità e sostituendo nell'ultima, si arriva alla seguente equazione:

$2\left(h_{2}-h_{1}\right)=\left(p_{2}-p_{1}\right)\cdot \left({\frac {1}{\rho _{1}}}+{\frac {1}{\rho _{2}}}\right)$,

dove $h={\frac {p}{\rho }}+e$ è l'entalpia.

Poiché le pressioni sono entrambe positive, il rapporto delle densità non è mai maggiore di $(\gamma +1)/(\gamma -1)$, oppure di 6 nel caso dell'aria (per la quale $\gamma$ vale circa 1,4).

Al crescere della forza dell'onda d'urto, il gas del flusso a valle diviene sempre più caldo, il rapporto delle densità $\rho _{2}/\rho _{1}$ tende ad un limite finito, pari a 4 per un gas monoatomico ($\gamma$ = 5/3), e a 6 per un gas biatomico ($\gamma ={\frac {7/2}{5/2}}=1{,}4$).

Bibliografia

• Rankine, W. J. M. , On the thermodynamic theory of waves of finite longitudinal disturbances, Phil. Trans. Roy. Soc. London, 160, (1870), p. 277.
• Hugoniot, H., Propagation des Mouvements dans les Corps et spécialement dans les Gaz Parfaits, Journal de 1'Ecole Polytechnique, 57, (1887), p. 3; 58, (1889), p. 1.
• Salas, M. D. The Curious Events Leading to the Theory of Shock Waves, Invited lecture at the 17th Shock Interaction Symposium (Roma, 4-8 settembre 2006).

Voci correlate

• Regime subsonico Ma < 1
• Regime supersonico Ma > 1
• Numero di Mach
• Onda d'urto (fluidodinamica)
• Singolarità di Prandtl-Glauert
• Muro del suono