Errore inerente

L'errore inerente è l'errore che si commette rappresentando un numero reale con un numero finito di cifre.

Questa scelta, necessaria se si vuole rappresentare tale numero su un calcolatore, impone un'approssimazione; ne segue che i calcolatori non sono in grado di fornire una rappresentazione corretta per i numeri costituiti da illimitate cifre (cioè i numeri periodici e i numeri irrazionali).

La presenza dell'errore inerente su valori numerici impiegati come ingressi di un algoritmo influisce sui risultati che si possono ottenere, ossia sulle uscite dell'algoritmo stesso; in questo caso infatti, l'errore si propaga. Un metodo per mantenere sotto controllo la propagazione dell'errore inerente è quello di confrontare l'entità dell'errore iniziale, con l'entità dell'errore che si ottiene in uscita dall'algoritmo.

Consideriamo un algoritmo (indicato dalla funzione $f(x)$) che prenda come unico ingresso un numero reale $x$. Se $x_{p}$ è $x$ perturbato (cioè affetto da errore inerente), $x_{r}$ è $x$ reale, $\varepsilon _{x}$ l'errore sui dati iniziali e $\varepsilon _{y}$ l'errore sui dati finali possiamo scrivere:

$\varepsilon _{x}={\frac {(x_{p}-x_{r})}{x_{r}}}$

si tratta quindi di valutare, una volta applicata la funzione $f(x)$ ai dati, l'errore che ne è derivato.

$\varepsilon _{y}={\frac {|f(x_{p})-f(x_{r})|}{|f(x_{r})|}}$

Se $\varepsilon _{y}$ è molto maggiore di $\varepsilon _{x}$ si ha mal condizionamento, dove piccole perturbazioni sui dati iniziali si trasformano in grandi perturbazioni sui risultati.