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In algebra astratta, una estensione di campi è detta algebrica se ogni elemento di è ottenibile come radice di un qualche polinomio a coefficienti in .

DefinizioniModifica

Sia   un campo. Una estensione è il dato di un altro campo   e di un omomorfismo iniettivo di   in  . Tramite l'omomorfismo,   può essere visto come un sottocampo di  . L'estensione è generalmente indicata con la notazione  .

Un elemento   di   è algebrico su   se esiste un polinomio (non nullo)   a coefficienti in   tale che

 

Un elemento non algebrico su   è detto trascendente.

Se tutti gli elementi di   sono algebrici su  , l'estensione   è detta algebrica. Altrimenti è trascendente.

Polinomio minimoModifica

Tra tutti i polinomi che si annullano in  , ne esiste uno in particolare di grado minimo, detto polinomio minimo di   su  . Si dimostra che esso è unico a meno di una costante moltiplicativa (ciò equivale a dire che esiste un unico polinomio minimo monico, cioè con coefficiente del termine di grado massimo uguale a  ) e che l'ideale generato da esso rappresenta il nucleo dell'omomorfismo di valutazione

 

Inoltre il grado di tale polinomio è proprio il grado   dell'estensione  , dove   è il sottocampo di   generato da   e da  .

EsempiModifica

Siano  ,   e   rispettivamente i campi dei numeri razionali, reali e complessi.

  • L'estensione   è trascendente, perché π non è radice di nessun polinomio a coefficienti razionali.
  • L'estensione   è algebrica, perché ogni numero complesso   è radice di un polinomio a coefficienti reali, ad esempio
 
  • Consideriamo il sottocampo   di   generato da   e  . L'estensione   è algebrica, perché   è radice del polinomio a coefficienti razionali
 
  • Ogni polinomio   a coefficienti in   definisce il suo campo di spezzamento, che è un'estensione algebrica di   "generata" dalle radici di  .

Campi algebricamente chiusiModifica

Un campo che non ha estensioni algebriche (oltre a sé stesso) è detto algebricamente chiuso. Un esempio è il campo dei numeri complessi.

Ogni campo ha un'estensione algebrica che è algebricamente chiusa (e la più piccola fra queste è la sua chiusura algebrica), ma dimostrare questo nel caso generale richiede una delle forme dell'assioma della scelta.

GeneralizzazioniModifica

La teoria dei modelli generalizza la nozione di estensione algebrica a teorie arbitrarie: un'immersione di   in   è detta estensione algebrica se per ogni   in   esiste una formula   a parametri in  , tale che   è vera e l'insieme

 

è finito. Applicando questa definizione alla teoria dei campi si ottiene l'usuale definizione di estensione algebrica. Il gruppo di Galois di   su   può essere ancora definito come il gruppo di automorfismi, e la maggior parte della teoria dei gruppi di Galois può essere sviluppata in questo contesto più generale.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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