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Estensione separabile

In matematica, un'estensione separabile è un'estensione di campi algebrica in cui il polinomio minimo di ogni elemento di è un polinomio separabile. Un'estensione non separabile è detta inseparabile.

Le estensioni separabili sono particolarmente importanti nella teoria di Galois: infatti il teorema di corrispondenza di Galois, che è al centro della teoria, vale per estensioni finite che sono separabili e normali (dette estensioni di Galois).

Se la caratteristica di è 0, allora tutte le estensioni algebriche di sono separabili. Se la caratteristica è un numero primo , invece, possono esistere estensioni non separabili: ad esempio, l'estensione non è separabile, perché il polinomio minimo di su è , che non è separabile. Se tutte le estensioni algebriche di sono separabili, allora è detto essere un campo perfetto; per quanto detto sopra, ogni campo di caratteristica 0 è perfetto. Se invece ha caratteristica allora è perfetto se e solo se ogni elemento ha una radice -esima nel campo (cioè il suo endomorfismo di Frobenius è suriettivo); ad esempio, ogni campo finito è perfetto.

La chiusura separabile di un campoModifica

L'insieme di tutti gli elementi di   separabili su   è un campo, indicato con  , e detto chiusura separabile di   in  ;   è un'estensione separabile se e solo se la chiusura separabile è esattamente  . Il grado   è detto grado di separabilità di  , mentre il quoziente   è detto grado di inseparabilità. Quest'ultimo può essere pensato come un modo per "misurare" quanto un'estensione è lontana dall'essere separabile.

BibliografiaModifica

  • Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.
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