Apri il menu principale

Estrazione di una base

In matematica, in particolare in algebra lineare, l'estrazione di una base è un algoritmo che permette di estrarre una base di uno spazio vettoriale a partire da un insieme finito di generatori dello spazio.

Il teorema di estrazione di una baseModifica

Sia   uno spazio vettoriale di dimensione   su un campo  . Il teorema di estrazione di una base asserisce che se   sono vettori che generano  , allora:[1]

  • Il numero   è maggiore o uguale a  .
  • Esistono   vettori   che formano una base di  .

Dimostrazione e algoritmoModifica

La dimostrazione fornisce un algoritmo che consente di trovare concretamente i vettori  . L'algoritmo funziona nel modo seguente: per ogni  , si controlla se il vettore  -esimo   è dipendente dai precedenti. Questo accade se e solo se:

 

Se un vettore è linearmente dipendente dagli altri si elimina dalla lista, altrimenti, si tiene. Per  , non ci sono vettori precedenti e si considera quindi lo span come l'insieme formato dal solo vettore nullo: quindi il primo vettore viene tenuto solo se diverso da zero. Il risultato finale è quindi un insieme di vettori indipendenti che continuano a generare  , ossia, per definizione, una base di  .

EsempioModifica

Si estrae una base di   dall'insieme :

 

Il primo vettore non è nullo e quindi viene tenuto. Il secondo non è multiplo del primo, e quindi viene tenuto. Il terzo è però combinazione dei primi due, infatti:

 

Quindi il terzo vettore è eliminato. Il quarto risulta indipendente dagli altri. Si ottiene quindi la base:

 

ControesempioModifica

Se al posto di spazi vettoriali si considerano moduli liberi allora il risultato non è più vero. Si prenda ad esempio lo  -modulo libero  . Allora si può verificare che   generano tutto   ma né  , né    sono basi sebbene linearmente indipendenti e di cardinalità uguale al rango dello  -modulo (ossia 2). Si osservi che un controesempio ancora più semplice si può trovare per lo  -modulo libero   scegliendo ad esempio   come sistema di generatori, da cui chiaramente non si riesce ad estrarre una base.

NoteModifica

  1. ^ S. Lang, Pag. 45.

BibliografiaModifica

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.

Voci correlateModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica