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Il fibrato tangente di una circonferenza. Ad ogni punto è associata la retta tangente. Le rette tangenti sono tutte disgiunte e si muovono "con continuità": il fibrato può quindi essere visualizzato come nella seconda figura.

In topologia differenziale il fibrato tangente ad una varietà differenziabile è l'insieme formato dall'unione disgiunta di tutti gli spazi tangenti ai punti di . Questo insieme è dotato di una struttura di varietà differenziabile (di dimensione doppia a quella di ), ed è generalmente visualizzato come fibrato vettoriale

su , in cui la controimmagine di un punto è proprio lo spazio tangente al punto.[1]

DefinizioneModifica

InsiemeModifica

Sia   una varietà differenziabile. Il fibrato tangente di   è l'unione disgiunta di tutti gli spazi tangenti ai punti di  :

 

Un punto di   è quindi una coppia  , dove   è un punto di   e   un vettore tangente a   in  , cioè un elemento dello spazio tangente   di   in  

La proiezione

 

manda il punto   in  

Varietà differenziabileModifica

Lo spazio   è dotato di una struttura di varietà differenziabile, che porta   ad essere un fibrato vettoriale differenziabile. La struttura può essere definita nel modo seguente. La struttura differenziabile di   è data da un insieme di carte

 

Ad ogni carta di   si associa la carta seguente per  :

 
 

In questa scrittura, lo spazio tangente di un punto in   è identificato con   stesso. Questo insieme di carte dà effettivamente luogo ad un atlante di carte compatibili, e quindi ad una struttura di varietà differenziabile.

Se   ha dimensione  , il fibrato tangente ha dimensione  .[2]

ProprietàModifica

Funzioni differenziabiliModifica

Ogni funzione differenziabile

 

tra varietà differenziabili (non necessariamente della stessa dimensione) induce una funzione differenziabile

 

fra i corrispettivi fibrati. La funzione è definita nel modo seguente:

 

Campi vettorialiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Campo vettoriale.
 
A differenza della sfera, il toro ha caratteristica di Eulero nulla: esistono quindi dei campi vettoriali (tangenti) mai nulli sul toro; ad esempio, quello disegnato qui.

Un campo vettoriale su una varietà differenziabile è una funzione che associa ad ogni punto di   un vettore tangente a  . In altre parole, è una sezione del fibrato tangente, ovvero una funzione

 

tale che   sia la funzione identità su  . Generalmente, si richiede implicitamente che il campo vettoriale sia liscio, ovvero che la sezione sia una funzione differenziabile.

L'esistenza di campi vettoriali mai nulli è determinata dalla caratteristica di Eulero   di  : un campo mai nullo esiste se e solo se  .

OrientabilitàModifica

Il fibrato tangente   è sempre una varietà orientabile, anche quando   non lo è.

Fibrati banali e non banaliModifica

Localmente, come per ogni fibrato vettoriale, il fibrato tangente è esprimibile come prodotto

 

dove   è un aperto (sufficientemente piccolo) di  . Globalmente, il fibrato tangente può non essere un prodotto. Non esiste infatti a priori nessun modo di identificare i vettori di due spazi tangenti   e   corrispondenti a spazi differenti.

Una varietà differenziabile il cui fibrato tangente è banale è detta parallelizzabile. Una  -varietà è parallelizzabile se e solo se esistono   campi vettoriali mai nulli, che in ogni punto   formano   vettori indipendenti di   (ovvero, una base). L'esistenza di queste basi è proprio ciò che serve per poter identificare i punti di due spazi tangenti differenti, fissando delle coordinate valide in tutti gli spazi tangenti.

Ad esempio, il fibrato tangente della circonferenza   è esprimibile come prodotto  , come illustrato in figura. Il fibrato tangente della sfera bidimensionale   non è però esprimibile come prodotto: per il teorema della palla pelosa non esistono infatti campi vettoriali mai nulli su  .

In generale, affinché una varietà sia parallelizzabile, è necessario che abbia caratteristica di Eulero nulla. Non è però vero il viceversa: esistono varietà con caratteristica di Eulero nulla che non sono parallelizzabili.

NoteModifica

  1. ^ G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di geometria differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, p. 29.
  2. ^ Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, pp. 241-242.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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