Filtro Sallen-Key
Il filtro Sallen Key è un tipo di filtro attivo, noto e diffuso grazie alla sua semplicità. Il circuito fornisce una risposta a 2 poli (-40 dB/decade) di tipo filtro passa-basso, filtro passa-alto o filtro passa-banda tramite due resistenze, due condensatori ed un inseguitore di tensione. Filtri di ordine superiore si ottengono mettendo vari stadi in cascata. Questa topologia di filtro è spesso denominata nel mondo anglofono voltage controlled voltage source (VCVS) filter. Fu introdotta da R.P. Sallen e E. L. Key del laboratorio Lincoln del MIT nel 1955.
Nonostante i filtri mostrati qui abbiano un guadagno di banda passante di 1 (o 0 dB), non tutti i filtri Sallen-Key hanno guadagno unitario. Resistenze aggiuntive possono essere connesse all'amplificatore operazionale ottenendo un amplificatore non-invertente con guadagno maggiore di 1. I filtri Sallen-Key sono poco sensibili alle tolleranze dei componenti, nonostante siano necessari valori estremi per avere un fattore di merito alto o un guadagno alto.
Configurazione passa bassoModifica
Esempio di filtro passa basso a guadagno unitario:
Un amplificatore operazionale è usato come amplificatore separatore, nonostante un amplificatore ad emettitore comune sia adeguato. In genere, frequenza di taglio e fattore Q seguono queste equazioni:
Rapporto tra e è ed il rapporto tra ed è , quindi:
- ,
Così, per esempio, il circuito mostrato ha Fc = 15.9 kHz e Q = 0.5. La sua funzione di trasferimento è:
Configurazione passa altoModifica
Ecco un filtro con Fc = 72 Hz e Q = 0.5.
Le sue equazioni sono:
(come prima), e
dove
Configurazione passa bandaModifica
Un amplificatore operazionale è usato come inseguitore di tensione. La frequenza di picco è:
Il partitore di tensione nell'anello di feedback positivo controlla il guadagno. Il "guadagno interno" G è:
mentre il guadagno di amplificatore alla frequenza di picco è dato da:
come si vede il guadagno G deve restare inferiore a 3 per evitare oscillazioni. il punto ottimale è e .
Modalità di dimensionamento Filtro Sallen-KeyModifica
Considerando un filtro biquadratico generico alla Sallen-Key del tipo in figura, è possibile derivare una formula generica della funzione di trasferimento del filtro.
Valutando la tensione sul nodo invertente dell'amplificatore operazionale, si ottiene:
(1)
Applicando la LKC al nodo compreso tra le ammettenze Y1 e Y2, denominato momentaneamente nodo A:
(2)
e considerando che:
(3)
Sostituendo la definizione di Va, ottenuta mediante l'eq. (3), nell'equazione (2), si ottiene a seguito di manipolazioni algebriche:
(4)
Tale formula risulta essere la più generale possibile. Da tale formula è infatti possibile derivare un filtro Sallen-Key passa basso, nonché uno passa alto, facendo uso di un'opportuna scelta delle componenti.
Filtro Sallen-Key Passa-BassoModifica
Facendo riferimento all'eq. (4), è possibile dimensionare un filtro Sallen-Key passa basso ponendo:
(5)
ovvero sostituendo le ammettenze Y1 e Y2 con resistori e le ammettenze Y3 e Y4 con condensatori. Sostituendo le imposizioni previste dalla (5) , in H(s), si ottiene:
(6)
Ricordando la forma canonica per filtri biquad passa-basso:
(7)
si ottiene per confronto:
(8)
(9)
È ora possibile procedere al dimensionamento mediante due possibili metodologie:
- Dimensionamento Equal Components
- Dimensionamento Unity Gain
Dimensionamento Equal ComponentsModifica
Per operare un dimensionamento equal components, bisogna porre:
(10)
Considerando le imposizioni riportate dall'eq. (10), otterremo le due equazioni di progetto, dalle quali sarà possibile ottenere ω0 e Q (e quindi di conseguenza Av):
(11)
(12)
Per quanto riportato dall'eq. (12) non è possibile fornire un guadagno dell'amplificatore indipendentemente da Q.
Dimensionamento Unity GainModifica
Per operare un dimensionamento unity gain, bisogna porre (anche circuitalmente, bufferizzando la retroazione):
(13)
È possibile riscrivere le equazioni di progetto (8) e (9) come segue:
(8.a)
(9.a)
Ricaviamo C3 dalla (9.a):
(14)
e sostituiamo tale espressione all'interno della 8.a, isolandoci C4:
(15)
Considerando il rapporto tra C3 e C4, ottenute mediante le eq. (14) e (15) si ottiene che:
(16)
La (16) determina il valore delle capacità da utilizzare, una volta fissato il valore delle resistenze in gioco e il valore Q. È importante notare che, la (16) avvalora l'incapacità di un Sallen-Key nell'ottenere valori di Q particolarmente elevati. La dipendenza da Q al quadrato porta le capacità a valori molto distanti tra loro, spesso non realizzabili in pratica. Ad es., se Q=10 , C3=100C4.
Filtro Sallen-Key Passa-AltoModifica
Facendo riferimento all'eq. (4), è possibile dimensionare un filtro Sallen-Key passa alto ponendo:
(17)
ovvero sostituendo le ammettenze Y1 e Y2 con condensatori e le ammettenze Y3 e Y4 con resistori. Seguendo lo stesso iter previsto per il filtro passa-basso, mediante sostituzione delle imposizioni previste dalla (17) nell'eq. (4)
(4)
si ottiene per confronto con la forma canonica di un passa alto:
(18)
(19)
Dimensionamento Equal ComponentsModifica
Per operare un dimensionamento equal components, bisogna porre:
(20)
Analogamente a quanto previsto per il passa basso, le equazioni di progetto rimangono inalterate, modificando esclusivamente la disposizione degli elementi passivi in un contesto circuitale:
È possibile ottenere ω0 e Q (e quindi di conseguenza Av):
(21) e (22)
Dimensionamento Unity GainModifica
Per operare un dimensionamento unity gain, bisogna porre (anche circuitalmente, bufferizzando la retroazione):
(23)
È possibile riscrivere le equazioni di progetto (8) e (9) come segue:
(8.b)
(9.b)
Ricaviamo R4 dalla (9.b):
(24)
e sostituiamo tale espressione all'interno della 8.b, isolandoci R3:
(25)
Considerando il rapporto tra R3 e R4, ottenute mediante le eq. (24) e (25) si ottiene che:
(26)
Altri progettiModifica
- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su filtro Sallen-Key
Collegamenti esterniModifica
- (EN) Analog Devices filter design applet Archiviato il 26 gennaio 2007 in Internet Archive. - A simple online tool for designing active filters using voltage-feedback op-amps.
- (EN) TI active filter design source FAQ, su www-k.ext.ti.com. URL consultato il 6 febbraio 2007 (archiviato dall'url originale il 30 settembre 2007).
- (EN) Op Amps for Everyone - Chapter 16 (PDF), su focus.ti.com. URL consultato il 6 febbraio 2007 (archiviato dall'url originale il 16 giugno 2006).
- (EN) Real properties of Sallen-Key basic block (PDF), su postreh.com.