Filtro Sallen-Key

tipo di filtro elettronico

Il filtro Sallen Key è un tipo di filtro attivo, noto e diffuso grazie alla sua semplicità. Il circuito fornisce una risposta a 2 poli (-40 dB/decade) di tipo filtro passa-basso, filtro passa-alto o filtro passa-banda tramite due resistenze, due condensatori ed un inseguitore di tensione. Filtri di ordine superiore si ottengono mettendo vari stadi in cascata. Questa topologia di filtro è spesso denominata nel mondo anglofono voltage controlled voltage source (VCVS) filter. Fu introdotta da R.P. Sallen e E. L. Key del laboratorio Lincoln del MIT nel 1955.

Nonostante i filtri mostrati qui abbiano un guadagno di banda passante di 1 (o 0 dB), non tutti i filtri Sallen-Key hanno guadagno unitario. Resistenze aggiuntive possono essere connesse all'amplificatore operazionale ottenendo un amplificatore non-invertente con guadagno maggiore di 1. I filtri Sallen-Key sono poco sensibili alle tolleranze dei componenti, nonostante siano necessari valori estremi per avere un fattore di merito alto o un guadagno alto.

Configurazione passa bassoModifica

Esempio di filtro passa basso a guadagno unitario:

Un amplificatore operazionale è usato come amplificatore separatore, nonostante un amplificatore ad emettitore comune sia adeguato. In genere, frequenza di taglio e fattore Q seguono queste equazioni:

 
 

Rapporto tra   e   è   ed il rapporto tra   ed   è  , quindi:

 
 ,  

Così, per esempio, il circuito mostrato ha Fc = 15.9 kHz e Q = 0.5. La sua funzione di trasferimento è:

 
 

Configurazione passa altoModifica

Ecco un filtro con Fc = 72 Hz e Q = 0.5.

Le sue equazioni sono:

 

(come prima), e

 

dove

 

Configurazione passa bandaModifica

Un amplificatore operazionale è usato come inseguitore di tensione. La frequenza di picco è:

 

Il partitore di tensione nell'anello di feedback positivo controlla il guadagno. Il "guadagno interno" G è:

 

mentre il guadagno di amplificatore alla frequenza di picco è dato da:

 

come si vede il guadagno G deve restare inferiore a 3 per evitare oscillazioni. il punto ottimale è   e  .

Modalità di dimensionamento Filtro Sallen-KeyModifica

Considerando un filtro biquadratico generico alla Sallen-Key del tipo in figura, è possibile derivare una formula generica della funzione di trasferimento del filtro.

Valutando la tensione sul nodo invertente dell'amplificatore operazionale, si ottiene:

  (1)

Applicando la LKC al nodo compreso tra le ammettenze Y1 e Y2, denominato momentaneamente nodo A:

  (2)

e considerando che:

 (3)

Sostituendo la definizione di Va, ottenuta mediante l'eq. (3), nell'equazione (2), si ottiene a seguito di manipolazioni algebriche:

  (4)

Tale formula risulta essere la più generale possibile. Da tale formula è infatti possibile derivare un filtro Sallen-Key passa basso, nonché uno passa alto, facendo uso di un'opportuna scelta delle componenti.

Filtro Sallen-Key Passa-BassoModifica

Facendo riferimento all'eq. (4), è possibile dimensionare un filtro Sallen-Key passa basso ponendo:

 (5)

ovvero sostituendo le ammettenze Y1 e Y2 con resistori e le ammettenze Y3 e Y4 con condensatori. Sostituendo le imposizioni previste dalla (5) , in H(s), si ottiene:

 (6)

Ricordando la forma canonica per filtri biquad passa-basso:

 (7)

si ottiene per confronto:

 (8)

 (9)

È ora possibile procedere al dimensionamento mediante due possibili metodologie:

  • Dimensionamento Equal Components
  • Dimensionamento Unity Gain

Dimensionamento Equal ComponentsModifica

Per operare un dimensionamento equal components, bisogna porre:

 (10)

Considerando le imposizioni riportate dall'eq. (10), otterremo le due equazioni di progetto, dalle quali sarà possibile ottenere ω0 e Q (e quindi di conseguenza Av):

 (11)

 (12)

Per quanto riportato dall'eq. (12) non è possibile fornire un guadagno dell'amplificatore indipendentemente da Q.

Dimensionamento Unity GainModifica

Per operare un dimensionamento unity gain, bisogna porre (anche circuitalmente, bufferizzando la retroazione):

  (13)

È possibile riscrivere le equazioni di progetto (8) e (9) come segue:

 (8.a)

 (9.a)

Ricaviamo C3 dalla (9.a):

  (14)

e sostituiamo tale espressione all'interno della 8.a, isolandoci C4:

 (15)

Considerando il rapporto tra C3 e C4, ottenute mediante le eq. (14) e (15) si ottiene che:

 (16)

La (16) determina il valore delle capacità da utilizzare, una volta fissato il valore delle resistenze in gioco e il valore Q. È importante notare che, la (16) avvalora l'incapacità di un Sallen-Key nell'ottenere valori di Q particolarmente elevati. La dipendenza da Q al quadrato porta le capacità a valori molto distanti tra loro, spesso non realizzabili in pratica. Ad es., se Q=10 , C3=100C4.

Filtro Sallen-Key Passa-AltoModifica

Facendo riferimento all'eq. (4), è possibile dimensionare un filtro Sallen-Key passa alto ponendo:

 (17)

ovvero sostituendo le ammettenze Y1 e Y2 con condensatori e le ammettenze Y3 e Y4 con resistori. Seguendo lo stesso iter previsto per il filtro passa-basso, mediante sostituzione delle imposizioni previste dalla (17) nell'eq. (4)

  (4)

si ottiene per confronto con la forma canonica di un passa alto:

 (18)

 (19)

Dimensionamento Equal ComponentsModifica

Per operare un dimensionamento equal components, bisogna porre:

 (20)

Analogamente a quanto previsto per il passa basso, le equazioni di progetto rimangono inalterate, modificando esclusivamente la disposizione degli elementi passivi in un contesto circuitale:

È possibile ottenere ω0 e Q (e quindi di conseguenza Av):

 (21) e  (22)

Dimensionamento Unity GainModifica

Per operare un dimensionamento unity gain, bisogna porre (anche circuitalmente, bufferizzando la retroazione):

  (23)

È possibile riscrivere le equazioni di progetto (8) e (9) come segue:

 (8.b)

 (9.b)

Ricaviamo R4 dalla (9.b):

  (24)

e sostituiamo tale espressione all'interno della 8.b, isolandoci R3:

 (25)

Considerando il rapporto tra R3 e R4, ottenute mediante le eq. (24) e (25) si ottiene che:

 (26)

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