Filtro Sallen-Key

Il filtro Sallen Key è un tipo di filtro attivo, noto e diffuso grazie alla sua semplicità. Il circuito fornisce una risposta a 2 poli (-40 dB/decade) di tipo filtro passa-basso, filtro passa-alto o filtro passa-banda tramite due resistenze, due condensatori ed un inseguitore di tensione. Filtri di ordine superiore si ottengono mettendo vari stadi in cascata. Questa topologia di filtro è spesso denominata nel mondo anglofono voltage controlled voltage source (VCVS) filter. Fu introdotta da R.P. Sallen e E. L. Key del laboratorio Lincoln del MIT nel 1955.

Nonostante i filtri mostrati qui abbiano un guadagno di banda passante di 1 (o 0 dB), non tutti i filtri Sallen-Key hanno guadagno unitario. Resistenze aggiuntive possono essere connesse all'amplificatore operazionale ottenendo un amplificatore non-invertente con guadagno maggiore di 1. I filtri Sallen-Key sono poco sensibili alle tolleranze dei componenti, nonostante siano necessari valori estremi per avere un fattore di merito alto o un guadagno alto.

Configurazione passa basso

Esempio di filtro passa basso a guadagno unitario:

Un amplificatore operazionale è usato come amplificatore separatore, nonostante un amplificatore ad emettitore comune sia adeguato. In genere, frequenza di taglio e fattore Q seguono queste equazioni:

$F_{c}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

$Q={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_{2}(R_{1}+R_{2})}}$

Rapporto tra $C_{1}$ e $C_{2}$ è $n$ ed il rapporto tra $R_{1}$ ed $R_{2}$ è $m$, quindi:

$R_{1}=mR,\quad R=R_{2},\quad C_{1}=nC,\quad C=C_{2}$

$F_{c}={\frac {1}{2\pi RC{\sqrt {mn}}}}$, $Q={\frac {\sqrt {mn}}{m+1}}$

Così, per esempio, il circuito mostrato ha Fc = 15.9 kHz e Q = 0.5. La sua funzione di trasferimento è:

$H(s)={\frac {1}{1+C_{2}(R_{1}+R_{2})s+C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}s^{2}}}$

$H(s)={\frac {1}{1+RC(m+1)s+mnR^{2}C^{2}s^{2}}}$

Configurazione passa alto

Ecco un filtro con Fc = 72 Hz e Q = 0.5.

Le sue equazioni sono:

$F_{c}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

(come prima), e

$Q={\frac {R_{2}C_{x}}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}$

dove

$C_{x}={\frac {C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}$

Configurazione passa banda

Un amplificatore operazionale è usato come inseguitore di tensione. La frequenza di picco è:

$F_{c}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {R_{f}+R_{1}}{C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}R_{f}}}}$

Il partitore di tensione nell'anello di feedback positivo controlla il guadagno. Il "guadagno interno" G è:

$G=1+{\frac {R_{b}}{R_{a}}}$

mentre il guadagno di amplificatore alla frequenza di picco è dato da:

$A={\frac {G}{3-G}}$

come si vede il guadagno G deve restare inferiore a 3 per evitare oscillazioni. il punto ottimale è $R_{2}=2R_{1}$ e $C_{1}=C_{2}$.

Modalità di dimensionamento Filtro Sallen-Key

Considerando un filtro biquadratico generico alla Sallen-Key del tipo in figura, è possibile derivare una formula generica della funzione di trasferimento del filtro.

Valutando la tensione sul nodo invertente dell'amplificatore operazionale, si ottiene:

$V^{-}=V_{out}{\frac {Ra}{Ra+rb}}={\frac {1}{Av}}V_{out}=kV_{out}$ (1)

Applicando la LKC al nodo compreso tra le ammettenze Y1 e Y2, denominato momentaneamente nodo A:

$(V_{a}-V_{i})Y_{1}+(V_{a}-kV_{o})Y_{2}+(V_{a}-V_{o})Y_{3}=0\longrightarrow V_{a}(Y_{1}+Y_{2}+Y_{3})=V_{i}Y_{1}+kV_{o}Y_{2}+V_{o}Y_{3}$ (2)

e considerando che:

$kV_{o}(Y_{2}+Y_{4})=V_{a}Y_{2}\longrightarrow V_{a}=kV_{o}{\frac {Y_{2}+Y_{4}}{Y_{2}}}$(3)

Sostituendo la definizione di Va, ottenuta mediante l'eq. (3), nell'equazione (2), si ottiene a seguito di manipolazioni algebriche:

$H(s)={\frac {V_{out}}{V_{in}}}={\frac {Y_{1}Y_{2}}{k(Y_{2}+Y_{4})(Y_{1}+Y_{2}+Y_{3})-Y_{2}(Y_{3}+KY_{2})}}$ (4)

Tale formula risulta essere la più generale possibile. Da tale formula è infatti possibile derivare un filtro Sallen-Key passa basso, nonché uno passa alto, facendo uso di un'opportuna scelta delle componenti.

Filtro Sallen-Key Passa-Basso

Facendo riferimento all'eq. (4), è possibile dimensionare un filtro Sallen-Key passa basso ponendo:

$Y_{1}=G_{1};Y_{2}=G_{2};Y_{3}=sC_{3};Y_{4}=sC_{4}$(5)

ovvero sostituendo le ammettenze Y1 e Y2 con resistori e le ammettenze Y3 e Y4 con condensatori. Sostituendo le imposizioni previste dalla (5) , in H(s), si ottiene:

$V_{out}={\frac {G_{1}G_{2}}{kC_{3}C_{4}(s^{2}+s({\frac {(G_{1}+G_{2})}{C_{3}}}+{\frac {G_{2}}{C_{4}}}{\frac {k-1}{k}})+{\frac {G_{1}G_{2}}{C_{3}C_{4}}})}}V_{in}$(6)

Ricordando la forma canonica per filtri biquad passa-basso:

$Vo={\frac {a_{0}}{s^{2}+{\frac {\omega _{0}}{Q}}s+\omega _{0}^{2}}}Vi$(7)

si ottiene per confronto:

$\omega _{0}^{2}={\frac {G_{1}G_{2}}{C_{3}C_{4}}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}C_{3}C_{4}}}$(8)

$Q={\frac {\omega _{0}}{{\frac {G_{1}+G_{2}}{C_{3}}}+{\frac {(k-1)}{k}}{\frac {G_{2}}{C_{4}}}}}={\frac {\omega _{0}}{{\frac {G_{1}+G_{2}}{C_{3}}}+(1-Av){\frac {G_{2}}{C_{4}}}}}$(9)

È ora possibile procedere al dimensionamento mediante due possibili metodologie:

• Dimensionamento Equal Components
• Dimensionamento Unity Gain

Dimensionamento Equal Components

Per operare un dimensionamento equal components, bisogna porre:

$R_{1}=R_{2}=R;C_{3}=C_{4}=C$(10)

Considerando le imposizioni riportate dall'eq. (10), otterremo le due equazioni di progetto, dalle quali sarà possibile ottenere ω0 e Q (e quindi di conseguenza Av):

$\omega 0=={\frac {1}{RC}}$(11)

$Q={\frac {1}{RC}}{\frac {1}{{\frac {2}{RC}}+{\frac {1-Av}{RC}}}}={\frac {1}{3-Av}}$(12)

Per quanto riportato dall'eq. (12) non è possibile fornire un guadagno dell'amplificatore indipendentemente da Q.

Dimensionamento Unity Gain

Per operare un dimensionamento unity gain, bisogna porre (anche circuitalmente, bufferizzando la retroazione):

$Av=1\longrightarrow k=1;R_{1}=R_{2}=R;$ (13)

È possibile riscrivere le equazioni di progetto (8) e (9) come segue:

$\omega _{0}^{2}={\frac {1}{R^{2}C_{3}C_{4}}}$(8.a)

$Q=\omega _{0}{\frac {1}{\frac {2}{RC_{3}}}}$(9.a)

Ricaviamo C3 dalla (9.a):

$C_{3}={\frac {2Q}{\omega _{0}R}}$ (14)

e sostituiamo tale espressione all'interno della 8.a, isolandoci C4:

$C_{4}={\frac {1}{2Q\omega _{0}R}}$(15)

Considerando il rapporto tra C3 e C4, ottenute mediante le eq. (14) e (15) si ottiene che:

$C_{3}=4Q^{2}C_{4}$(16)

La (16) determina il valore delle capacità da utilizzare, una volta fissato il valore delle resistenze in gioco e il valore Q. È importante notare che, la (16) avvalora l'incapacità di un Sallen-Key nell'ottenere valori di Q particolarmente elevati. La dipendenza da Q al quadrato porta le capacità a valori molto distanti tra loro, spesso non realizzabili in pratica. Ad es., se Q=10 , C3=100C4.

Filtro Sallen-Key Passa-Alto

Facendo riferimento all'eq. (4), è possibile dimensionare un filtro Sallen-Key passa alto ponendo:

$Y_{1}=sC_{1};Y_{2}=sC_{2};Y_{3}=G_{3};Y_{4}=G_{4}$(17)

ovvero sostituendo le ammettenze Y1 e Y2 con condensatori e le ammettenze Y3 e Y4 con resistori. Seguendo lo stesso iter previsto per il filtro passa-basso, mediante sostituzione delle imposizioni previste dalla (17) nell'eq. (4)

$H(s)={\frac {Vo}{Vi}}={\frac {Y1Y2}{k(Y2+Y4)(Y1+Y2+Y3)-Y2(Y3+kY2)}}$ (4)

si ottiene per confronto con la forma canonica di un passa alto:

$\omega _{0}^{2}={\frac {1}{C_{1}C_{2}R_{3}R_{4}}}$(18)

$Q=\omega _{0}{\frac {1}{G_{4}{\frac {(C_{1}+C_{2})}{C_{1}C_{2}}}+(1-Av){\frac {G_{3}}{C_{1}}}}}$(19)

Dimensionamento Equal Components

Per operare un dimensionamento equal components, bisogna porre:

$C_{1}=C_{2}=C;R_{3}=R_{4}=R$(20)

Analogamente a quanto previsto per il passa basso, le equazioni di progetto rimangono inalterate, modificando esclusivamente la disposizione degli elementi passivi in un contesto circuitale:

È possibile ottenere ω0 e Q (e quindi di conseguenza Av):

$\omega _{0}={\frac {1}{RC}}$(21) e $Q={\frac {1}{3-Av}}$(22)

Dimensionamento Unity Gain

Per operare un dimensionamento unity gain, bisogna porre (anche circuitalmente, bufferizzando la retroazione):

$Av=1\longrightarrow k=1;C_{1}=C_{2}=C;$ (23)

È possibile riscrivere le equazioni di progetto (8) e (9) come segue:

$\omega _{0}^{2}={\frac {1}{C^{2}R_{3}R_{4}}}$(8.b)

$Q={\frac {\omega _{0}}{\frac {2}{CR_{4}}}}$(9.b)

Ricaviamo R4 dalla (9.b):

$R_{4}={\frac {2Q}{\omega _{0}C}}$ (24)

e sostituiamo tale espressione all'interno della 8.b, isolandoci R3:

$R_{3}={\frac {1}{2Q\omega _{0}C}}$(25)

Considerando il rapporto tra R3 e R4, ottenute mediante le eq. (24) e (25) si ottiene che:

$R_{4}=4Q^{2}R_{3}$(26)

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Collegamenti esterni

• (EN) Analog Devices filter design applet Archiviato il 26 gennaio 2007 in Internet Archive. - A simple online tool for designing active filters using voltage-feedback op-amps.
• (EN) TI active filter design source FAQ, su www-k.ext.ti.com. URL consultato il 6 febbraio 2007 (archiviato dall'url originale il 30 settembre 2007).
• (EN) Op Amps for Everyone - Chapter 16 (PDF), su focus.ti.com. URL consultato il 6 febbraio 2007 (archiviato dall'url originale il 16 giugno 2006).
• (EN) Real properties of Sallen-Key basic block (PDF), su postreh.com.