Filtro a coseno rialzato

Il filtro a coseno rialzato è un particolare tipo di filtro elettronico usato per sagomare l'impulso dati nei sistemi di modulazione digitale. La sua risposta impulsiva è nulla negli istanti multipli del tempo di simbolo, pertanto appartiene alla famiglia dei filtri di Nyquist, i quali riducono l'interferenza intersimbolica (ISI).

Il nome discende dal fatto che la porzione non nulla del suo spettro, almeno nella versione più semplice, è una funzione coseno rialzata sopra l'asse delle frequenze (si veda la figura in basso).

Descrizione matematicaModifica

Il filtro a coseno rialzato realizza il filtro di Nyquist passa-basso, con la proprietà della simmetria vestigiale. Pertanto, il suo spettro possiede una simmetria dispari attorno a  , ove   è il tempo di simbolo del sistema di comunicazioni.

La sua descrizione nel dominio della frequenza è fornita da una funzione a tratti data da:

 
 

e caratterizzata da due parametri:  , il fattore di rotolamento (roll-off), e  , il tempo di simbolo (reciproco della frequenza di simbolo).

La risposta impulsiva di tale filtro è data da:

 

in termini della funzione sinc normalizzata.

 
Risposta in ampiezza di un filtro a coseno rialzato per diversi valori di fattore di roll-off
 
Risposta impulsiva di un filtro a coseno rialzato per diversi valori di fattore di roll-off

Fattore di roll-offModifica

Il fattore di roll-off,  , rappresenta una misura dell'eccesso di banda del filtro, cioè la banda occupata al di là della banda di Nyquist  . Denotando con   l'eccesso di banda, allora:

 

ove   è la frequenza di simbolo.

Il grafico mostra la risposta in ampiezza quando   viene fatto variare tra 0 e 1, e l'effetto corrispondente sulla risposta impulsiva. Come si può notare, il livello di ondulazione nel dominio del tempo cresce al diminuire di  . Ciò dimostra come sia possibile ridurre l'eccesso di banda del filtro alle spese di un allungamento della risposta impulsiva.

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Quando   tende a 0, la zona di roll-off diventa sempre più stretta, quindi:

 

dove   è la funzione rettangolare, e la risposta impulsiva tende al   ideale. Pertanto, converge ad un filtro passa-banda ideale.

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Quando  , la parte non nulla dello spettro è un coseno rialzato puro, che conduce alla semplificazione:

 

Larghezza di bandaModifica

La banda di un filtro a coseno rialzato è comunemente definita come la larghezza di banda della porzione non nulla del suo spettro, cioè:

 

ApplicazioniModifica

 
Impulsi a coseno rialzato consecutivi permettono di dimostrare la proprietà di zero-ISI

Quando viene utilizzato per filtrare un flusso di simboli, un filtro di Nyquist ha la proprietà di eliminare l'ISI, dato che la sua risposta impulsiva è nulla ad ogni   (dove   è un numero intero), eccetto che per  .

Di conseguenza, se la forma d'onda trasmessa è correttamente campionata al ricevitore, i valori originali dei simboli possono essere completamente recuperati.

Comunque, nella maggior parte dei sistemi di comunicazione utilizzati nella pratica, un filtro adattato deve essere usato al ricevitore, a causa degli effetti del rumore bianco.

Questa condizione richiede il seguente vincolo, in presenza di canale ideale:

 

cioè:

 

Per soddisfare questo vincolo pur continuando a fornire ISI nulla, un filtro a radice di coseno rialzato è usato, tipicamente, ad entrambi gli estremi del sistema di telecomunicazioni. In questo modo la risposta totale del sistema è a coseno rialzato.

Infatti, in presenza di canale attivo con risposta impulsiva  , si ha:

  con  

ed anche con:

 

con   impulso di Nyquist a Coseno Rialzato, quindi:

 

ed anche:

 

Nel caso particolare di un sistema P.A.M. binario si ha:  , con   l'Energia per bit.

BibliografiaModifica

  • I. Glover, P. Grant (2004). Digital Communications (2ª ed.). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4
  • J. Proakis (1995). Digital Communications (3ª ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5

Collegamenti esterniModifica