Filtro Kerwin-Huelsman-Newcomb

Il filtro Kerwin-Huelsman-Newcomb (KHN), detto anche filtro universale Kerwin-Huelsman-Newcomb, è un filtro biquad a variabili di stato del secondo ordine. Esso, oltre a costituire un'alternativa ad elevato Q per sezioni biquad del secondo ordine a basso Q (ad es. i Sallen-Key), è in grado di produrre simultaneamente uscite: passa basso, passa alto e passa banda a partire da un unico ingresso. La presenza contemporanea di uscite passa basso, passa alto e passa banda apre scenari interessanti nella realizzazione di filtri notch o all-pass, equalizzatori di fase ad elevato Q.

Funzione di trasferimentoModifica

Il KHN deriva da una riformulazione della funzione di trasferimento di un filtro biquad passa-alto in termini di rapporto di due funzioni quadratiche.

Considerando, infatti, l'espressione di un biquad passa-alto:

  (1)

Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per il denominatore del termine a destra nella (1), si ottiene:

  (2)

isolando VHP(s) si ottiene:

 (3)

L'eq. (3) mostra che l'uscita passa alto del KHN (VHP(s)) è il risultato di una combinazione lineare di: un'uscita di tipo passa banda (ottenuto mediante l'integrazione -ω0/s della VHP(s)) e di un'uscita di tipo passa basso (ulteriore integrazione -ω0/s sull'uscita di tipo passa banda). Uno schema a blocchi, rappresentativo del principio di funzionamento di un filtro universale è riportato di seguito.

È quindi possibile riscrivere l'eq. (3) come:

 (4)

con  e   (5)

È interessante notare che l'uscita VBP(s) presenta un segno negativo a causa dell'integrazione invertente a cui è sottoposto VHP(s).

Dall'eq. (5), relativa a VBP(s), è inoltre possibile derivare il guadagno alla frequenza centrale del passa banda ω0, la quale risulta essere :

 (6)

Implementazione circuitaleModifica

Considerando le eq. (3) e (4), risulta necessaria un'implementazione circuitale che faccia uso di due circuiti integratori ed un circuito sommatore che sintetizzi l'eq.(4).:

 (4)

A tal proposito è possibile far uso di una configurazione circuitale del tipo:

Dal momento che, coerentemente con l'eq. (4), la VLP(s) deve essere riportata con un guadagno di -1 risulta che :  .

Per determinare i parametri k e Q, è possibile far uso del principio di sovrapposizione degli effetti:

Definiamo k  (7)

Definiamo Q  (8)

Dalla (8) risulta che:

  (9)

Tale equazione di progetto ha un'implicazione interessante: diversamente da quanto avviene per i Sallen-Key, dove il rapporto tra le resistenze dipende da Q2, limitandone di fatto l'utilizzo per valori elevati di Q, in questo caso la dipendenza risulta essere lineare. Questo consente di utilizzare tale filtro per realizzare Q elevati. Infatti, riprendendo l'eq. (7):

 (9)

Riconsiderando il guadagno a centro banda previsto dall'eq.(6):

  (10)

L'implementazione circuitale completa di un filtro KHN è riportata di seguito:

Tale circuito manifesta una  (11)

Sfruttando le uscite di un filtro KHN è possibile realizzare:

Filtro Notch Biquad con KHNModifica

Utilizzando le uscite di un filtro universale KHN è possibile realizzare un filtro notch biquad a frequenza centrale, passa alto o passa basso, mediante opportuna combinazione lineare delle uscite VHP e VLP, riportata in miniatura.

 
Fitro Notch Biquad con KHN

Considerando tale implementazione circuitale, si ottiene che:

  (12)

con

  e   (13)

Sostituendo le espressioni di VHP e VLP in Vo si ottiene:

 (14)

Se si vuole realizzare un notch a frequenza soppressa ω0, bisognerà porre  realizzando la forma generalizzata di un filtro notch biquad:

 (15)

Diversamente, se si vuole realizzare un filtro notch passa basso bisognerà realizzare una condizione generalizzata, che preveda una frequenza soppressa   del tipo:

 (16)

con  . In questo modo, il guadagno del filtro a basse frequenze risulterà essere  >  , guadagno alle alte frequenze. Per realizzare la medesima condizione con un sommatore sulle uscite del KHN bisognerà imporre, sulla base dell'eq. (14):  .

Discorso del tutto analogo se l'intenzione è quella di realizzare un notch passa alto. In questo caso,  , per cui i guadagni si invertono, rispetto al caso precedente. Per realizzare la medesima condizione con un sommatore sulle uscite del KHN bisognerà imporre, sulla base dell'eq. (14):  .

Filtro passa tutto Biquad con KHNModifica

Utilizzando le uscite di un filtro universale KHN è possibile realizzare un filtro passa tutto biquad, mediante combinazione lineare delle uscite VHP , VBP e VLP, come riportato in miniatura.

 
Filtro All-Pass Biquad con KHN

Considerando tale implementazione circuitale, si ottiene che:

  (17)

con

 ,   e  (18)

Sostituendo le espressioni di VHP , VBP e VLP in Vo si ottiene:

 (19)

che confrontata con un'espressione generalizzata di un biquad all-pass:

 (20)

permette di ricavare alcune considerazioni di tipo circuitale:

  e  (21)