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Punto di flesso

punto in cui in una curva o funzione si manifesta un cambiamento di curvatura o di convessità
(Reindirizzamento da Flesso)

     Intervallo di concavità

     Intervallo di convessità

     Punto di flesso (cambio di concavità)

Un punto di flesso per una curva o funzione è un punto in cui si manifesta un cambiamento di curvatura o di convessità. La definizione e lo studio dei punti di flesso fa largo uso del calcolo infinitesimale e più precisamente del concetto di derivata.

DefinizioneModifica

 
Un punto di flesso a tangente orizzontale

Un punto di flesso è definito in modo diverso a seconda del contesto.

  • Per una funzione   derivabile su   intervallo, un punto di flesso è un punto   tale che   ha un estremo locale isolato in   Se tutti gli estremi di   sono isolati, allora questa definizione è equivalente a dire che il punto   è un punto di flesso se la retta tangente al punto   del grafico della funzione "attraversa" il grafico (cioè si incrocia con questo) ed è anche equivalente a dire che il punto di flesso è un punto in cui cambia la concavità della funzione.
  • Se   è derivabile due volte su   la precedente definizione è equivalente a dire che il punto   è un punto di flesso se   ha in   uno zero isolato e cambia segno.
  • Per una curva descritta da equazioni parametriche un punto di flesso è un punto   della curva in cui la curvatura orientata cambia segno ed esiste un intorno di   in cui   è l'unico punto della curva in cui la curvatura orientata cambia segno.
  • Per una curva algebrica un punto di flesso è un punto   non singolare della curva in cui la molteplicità dell'intersezione della retta tangente in   con la curva è dispari e maggiore di  

Un punto di flesso per una funzione derivabile può essere ascendente o discendente:

  • è ascendente quando   ha un massimo locale nel punto di flesso,
  • è discendente quando   ha un minimo locale nel punto di flesso.

Si osservi che il grafico di una funzione è un caso particolare di curva descritta da equazioni parametriche.

Se gli estremi di   non sono tutti isolati il seguente esempio mostra che non è equivalente chiedere che la retta tangente attraversi il grafico o che la funzione cambi concavità. Si consideri le funzioni   e  , entrambe estese in   ponendo   I grafici di entrambe le funzioni hanno retta tangente   in   Nel caso della   la tangente attraversa il grafico della funzione, nel caso della   la tangente resta al di sotto del grafico della funzione. In entrambi i casi la funzione cambia concavità infinite volte in qualsiasi intorno di  

FunzioniModifica

Flessi orizzontali, obliqui e verticaliModifica

 
Un punto di flesso a tangente obliqua

Sia   un punto di flesso per una funzione   Se la tangente nel punto è orizzontale (cioè se  ) allora si parla di flesso orizzontale. Altrimenti si parla di flesso obliquo.

Se la funzione è derivabile due volte in tutti i punti in un intorno   di  , e la derivata prima   tende a   o a   in  , si parla di "tangente verticale", e il punto è di flesso se la derivata seconda cambia segno e non si annulla in  . In tal caso si parla di flesso verticale.

PrecisazioniModifica

Il "cambiare segno" della derivata seconda è da intendersi di un intorno: nel caso della funzione, questa ha flesso in   se esiste un intorno   di   tale che per ogni   di   con   si ha   (rispettivamente  ) e per ogni   di   con   si ha   (rispettivamente  ).

Metodi risolutiviModifica

Per verificare analiticamente se una funzione possiede punti di flesso, sotto l'ipotesi di esistenza della derivata seconda, si ricercano innanzitutto i valori di   per i quali quest'ultima si annulla:

 

La condizione che   è necessaria ma non sufficiente a garantire l'esistenza di un flesso in  , perché la derivata seconda potrebbe non cambiare segno intorno a  : questo accade se la funzione presenta nel punto un contatto "superiore al secondo ordine" con la propria retta tangente.

Quindi si prosegue nell'analisi verificando che la derivata seconda cambi segno. Questo accade precisamente quando la prima derivata non nulla calcolata nel punto   successiva alla seconda è una derivata dispari.

ProprietàModifica

  • Un punto di flesso è un punto stazionario se e solo se è orizzontale.
  • In un punto di flesso la funzione ammette un "contatto almeno del secondo ordine" con la retta tangente.
  • Esistono funzioni che non presentano punti di flesso: ad esempio quelle aventi come diagrammi linee rette, parabole e le funzioni polinomiali date da espressioni come   per   intero positivo o da espressioni riconducibili a queste mediante traslazioni, omotetie, ... .

GeneralizzazioniModifica

Caso complessoModifica

Nel caso di funzioni o curve considerate a variabile complessa, non è possibile dare una definizione del tutto analoga, perché i numeri complessi non hanno un ordinamento, e quindi non ha senso parlare di "cambiamento di segno" della derivata o curvatura.

Per questo motivo solitamente si definisce un punto di flesso per una curva o funzione come un punto in cui la retta tangente ha "molteplicità di intersezione" (cioè "ordine di contatto") con la curva almeno 3. Tale molteplicità è "di solito" 2, quindi i punti di flesso sono punti "eccezionali" della curva.

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

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