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In matematica, in particolare nello studio delle equazioni differenziali ordinarie, un flusso generalizza il concetto di funzione iterata n volte in modo che il numero di iterazioni n diventi un parametro continuo. Più rigorosamente, un flusso è un'azione di gruppo di un gruppo ad un parametro.

È utilizzato in ingegneria e fisica per formalizzare le soluzioni dell'equazione che descrive un sistema dinamico.

L'idea di un vettore di flusso, cioè il flusso di un campo vettoriale, è utilizzata nei più disparati ambiti, come la topologia differenziale, la geometria di Riemann e i gruppi di Lie. Alcuni esempi di vettori di flusso sono il flusso geodetico, il campo vettoriale hamiltoniano, il flusso di Ricci e il flusso di Anosov.

Indice

DefinizioneModifica

Un flusso definito su un insieme   è un'azione di gruppo di   su  . Più esplicitamente, un flusso è una funzione   con   e tale da essere coerente con la struttura di un gruppo ad un parametro:

 

per ogni   in   e con  .

L'insieme   è chiamato orbita di   attraverso  .

Normalmente è richiesto che un flusso sia compatibile con le strutture definite su  , ad esempio se   è uno spazio topologico si richiede solitamente che il flusso sia una funzione continua (in questo modo il flusso forma un sottogruppo ad un parametro di omeomorfismi). In molti casi  , oppure è una varietà differenziabile con   una funzione differenziabile (che forma un sottogruppo ad un parametro di diffeomorfismi).

Un flusso locale è un flusso definito su un sottoinsieme:

 

e si introduce in genere quando si trattano flussi di campi vettoriali.

In molti campi, come in ingegneria, in fisica e nello studio delle equazioni differenziali, è diffusa una particolare notazione in cui il flusso è scritto implicitamente come  , intendendo che la variabile   dipende dal tempo   e dal punto iniziale  .

Sistemi dinamiciModifica

Un comune esempio di flusso in fisica matematica sono le soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria autonoma, usata per descrivere i sistemi dinamici:

 

dove il flusso   corrispondente all'orbita (evoluzione del sistema nello spazio delle fasi) per il punto iniziale   è l'unica soluzione al problema ai valori iniziali dato.

BibliografiaModifica

  • (EN) I.P. [I.P. Kornfel'd] Cornfel'd, S.V. Fomin, Ya.G. Sinai, Ergodic theory, Springer (1982)
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Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica