La formula può essere rappresentata dall'espressione:
A
=
1
2
|
x
1
y
2
+
x
2
y
3
+
…
+
x
n
−
1
y
n
+
x
n
y
1
−
x
2
y
1
−
x
3
y
2
−
…
−
x
n
y
n
−
1
−
x
1
y
n
|
,
{\displaystyle A={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\ldots +x_{n-1}y_{n}+x_{n}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-\ldots -x_{n}y_{n-1}-x_{1}y_{n}|,}
dove
A
{\displaystyle A}
n
{\displaystyle n}
(
x
i
,
y
i
)
{\displaystyle (x_{i},y_{i})}
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\ldots ,n}
[2] Oppure, servendosi delle sommatorie :
A
=
1
2
|
∑
i
=
1
n
(
x
i
y
i
+
1
−
x
i
+
1
y
i
)
|
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\right|}
x
n
+
1
{\displaystyle x_{n+1}}
y
n
+
1
{\displaystyle y_{n+1}}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
y
1
{\displaystyle y_{1}}
La dimostrazione della formula si basa sul concetto di forma differenziale : il calcolo dell'area della figura è infatti la generalizzazione dell'integrazione utilizzata per il calcolo di una superficie.
Sia
Ω
{\displaystyle \Omega }
P
(
x
,
y
)
{\displaystyle P(x,y)}
L'area è
A
=
∫
Ω
α
{\displaystyle A=\int _{\Omega }\alpha }
α
{\displaystyle \alpha }
2-forma definita come
α
=
d
x
∧
d
y
{\displaystyle \alpha =dx\wedge dy}
Sia
d
ω
=
α
{\displaystyle d\omega =\alpha }
ω
=
x
d
y
2
−
y
d
x
2
.
{\displaystyle \omega ={\frac {x\,dy}{2}}-{\frac {y\,dx}{2}}.}
Grazie a questa sostituzione,
∫
Ω
α
=
∫
Ω
d
ω
{\displaystyle \int _{\Omega }\alpha =\int _{\Omega }d\omega }
ma, per il teorema di Green risulterà:
∫
Ω
d
ω
=
∫
∂
Ω
ω
.
{\displaystyle \int _{\Omega }d\omega =\int _{\partial \Omega }\omega .}
Il bordo
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
∂
Ω
=
⋃
A
(
i
)
,
{\displaystyle \partial \Omega =\bigcup A(i),}
A
(
i
)
{\displaystyle A(i)}
(
x
i
,
y
i
)
{\displaystyle (x_{i},y_{i})}
(
x
i
+
1
,
y
i
+
1
)
{\displaystyle (x_{i+1},y_{i+1})}
Perciò
∫
∂
Ω
ω
=
∑
i
=
1
n
∫
A
(
i
)
ω
.
{\displaystyle \int _{\partial \Omega }\omega =\sum _{i=1}^{n}\int _{A(i)}\omega .}
Sostituendo per
ω
{\displaystyle \omega }
∑
i
=
1
n
∫
A
(
i
)
ω
=
1
2
∑
i
=
1
n
∫
A
(
i
)
x
d
y
−
y
d
x
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\int _{A(i)}\omega ={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\int _{A(i)}{x\,dy}-{y\,dx}}
e, parametrizzando,
1
2
∑
i
=
1
n
∫
0
1
(
x
i
+
(
x
i
+
1
−
x
i
)
t
)
(
y
i
+
1
−
y
i
)
−
(
y
i
+
(
y
i
+
1
−
y
i
)
t
)
(
x
i
+
1
−
x
i
)
d
t
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\int _{0}^{1}{(x_{i}+(x_{i+1}-x_{i})t)(y_{i+1}-y_{i})}-{(y_{i}+(y_{i+1}-y_{i})t)(x_{i+1}-x_{i})\,dt}.}
L'integrazione porta al risultato
1
2
∑
i
=
1
n
1
2
[
(
x
i
+
x
i
+
1
)
(
y
i
+
1
−
y
i
)
−
(
y
i
+
y
i
+
1
)
(
x
i
+
1
−
x
i
)
]
,
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}[(x_{i}+x_{i+1})(y_{i+1}-y_{i})-(y_{i}+y_{i+1})(x_{i+1}-x_{i})],}
che, semplificato con un po' di algebra elementare è
1
2
∑
i
=
1
n
(
x
i
y
i
+
1
−
x
i
+
1
y
i
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}).}
Q.E.D.
Si prenda un triangolo con vertici di coordinate
{
(
2
,
1
)
,
(
4
,
5
)
,
(
7
,
8
)
}
{\displaystyle \{(2,1),(4,5),(7,8)\}}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
A
tri
=
1
2
|
x
1
y
2
+
x
2
y
3
+
x
3
y
1
−
x
2
y
1
−
x
3
y
2
−
x
1
y
3
|
,
{\displaystyle A_{\text{tri}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}|,}
dove
x
n
{\displaystyle x_{n}}
y
n
{\displaystyle y_{n}}
valore assoluto della metà di
10
+
32
+
7
−
4
−
35
−
16
{\displaystyle 10+32+7-4-35-16}
3
{\displaystyle 3}
E così l'area del pentagono diventerà
A
pent
=
1
2
|
x
1
y
2
+
x
2
y
3
+
x
3
y
4
+
x
4
y
5
+
x
5
y
1
−
x
2
y
1
−
x
3
y
2
−
x
4
y
3
−
x
5
y
4
−
x
1
y
5
|
,
{\displaystyle A_{\text{pent}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{5}+x_{5}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{5}y_{4}-x_{1}y_{5}|,}
e per il quadrilatero sarà
A
quad
=
1
2
|
x
1
y
2
+
x
2
y
3
+
x
3
y
4
+
x
4
y
1
−
x
2
y
1
−
x
3
y
2
−
x
4
y
3
−
x
1
y
4
|
.
{\displaystyle A_{\text{quad}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{1}y_{4}|.}
Si consideri il poligono di vertici
(
3
,
4
)
{\displaystyle (3,4)}
(
5
,
11
)
{\displaystyle (5,11)}
(
12
,
8
)
{\displaystyle (12,8)}
(
9
,
5
)
{\displaystyle (9,5)}
(
5
,
6
)
{\displaystyle (5,6)}
L'area del poligono vale:
A
=
1
2
|
3
×
11
+
5
×
8
+
12
×
5
+
9
×
6
+
5
×
4
−
4
×
5
−
11
×
12
−
8
×
9
−
5
×
5
−
6
×
3
|
=
60
2
=
30
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={1 \over 2}|3\times 11+5\times 8+12\times 5+9\times 6+5\times 4\\&{}\qquad {}-4\times 5-11\times 12-8\times 9-5\times 5-6\times 3|\\[10pt]&={60 \over 2}=30\end{aligned}}}
Utilizzo con le matrici
modifica
Se si costruisce una matrice rettangolare dove siano indicate, su ogni riga, le coordinate di ogni vertice, avendo cura di riportare il primo vertice alla fine della lista, l'applicazione della formula risulterà notevolmente più semplice.
Sia il triangolo
(
2
,
4
)
{\displaystyle (2,4)}
(
3
,
−
8
)
{\displaystyle (3,-8)}
(
1
,
2
)
{\displaystyle (1,2)}
[
2
4
3
−
8
1
2
2
4
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&4\\3&-8\\1&2\\2&4\end{bmatrix}}}
[3] Innanzitutto si disegneranno dei trattini che uniscano, in diagonale i punti da sinistra a destra verso il basso, e viceversa (da destra a sinistra sempre verso il basso)
e si moltiplicheranno i due numeri connessi dalle linee, poi si calcolerà la somma dei prodotti
2
⋅
(
−
8
)
+
3
⋅
2
+
1
⋅
4
=
−
6.
{\displaystyle 2\cdot (-8)+3\cdot 2+1\cdot 4=-6.}
Lo stesso andrà fatto con le diagonali secondarie.
da cui si ha
4
⋅
3
+
(
−
8
)
⋅
1
+
2
⋅
2
=
8.
{\displaystyle 4\cdot 3+(-8)\cdot 1+2\cdot 2=8.}
Ora i due numeri vanno sottratti tra loro, e va considerato il valore assoluto della differenza (non esistono aree negative!):
|
−
6
−
8
|
=
14
{\displaystyle |-6-8|=14}
7
{\displaystyle 7}
Da questo sistema la formula prende il nome del "laccio di scarpa": infatti i trattini disegnati sulla matrice sembrano proprio i lacci di una scarpa.
^ Copia archiviata PDF staff.imsa.edu . URL consultato il 3 novembre 2011 (archiviato dall'url originale il 6 agosto 2009) . ^ Geometry for Enjoyment and Challenge section 16.2
^ IMSA JHMC Guide, Page. 10 "Shoelace" by Cindy Xi
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}[(x_{i}+x_{i+1})(y_{i+1}-y_{i})-(y_{i}+y_{i+1})(x_{i+1}-x_{i})],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0281cdc4a107dfeba3f70afd37d8b2b74b63cc9)
.svg)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={1 \over 2}|3\times 11+5\times 8+12\times 5+9\times 6+5\times 4\\&{}\qquad {}-4\times 5-11\times 12-8\times 9-5\times 5-6\times 3|\\[10pt]&={60 \over 2}=30\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276683f8e2bba28ac9b98349225ed869479d7813)
