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La formula dell'area di Gauss è un algoritmo matematico utilizzato per determinare l'area di un poligono i cui vertici siano descritti in coordinate cartesiane[1]. Il risultato si ottiene moltiplicando in croce le coordinate corrispondenti seguendo uno schema simile a quello dei lacci della scarpa.

La formula può essere rappresentata dall'espressione:

dove

  • è l'area del poligono,
  • il numero di lati
  • , con sono i vertici del poligono.[2]

Oppure, servendosi delle sommatorie: , dove e indicano rispettivamente e .

Indice

DimostrazioneModifica

La dimostrazione della formula si basa sul concetto di forma differenziale: il calcolo dell'area della figura è infatti la generalizzazione dell'integrazione utilizzata per il calcolo di una superficie.

Sia   l'insieme dei punti   appartenenti al poligono.

L'area è  , dove   è una 2-forma definita come  .

Sia  , con

 

Grazie a questa sostituzione,

 

ma, per il teorema di Green risulterà:

 

Il bordo   della varietà considerata corrisponde all'unione dei segmenti che uniscono i vari punti:   dove   è il segmento che unisce il punto   a  .

Perciò

 

Sostituendo per  , sarà

 

e, parametrizzando,

 

L'integrazione porta al risultato

 

che, semplificato con un po' di algebra elementare è

 

Q.E.D.

EsempiModifica

Si prenda un triangolo con vertici di coordinate  . Si prenda la prima   e la si moltiplichi per la seconda   e così via. Si arriverà alla formula

 

dove   e   rappresentano le coordinate di un punto. Ma questo vale solo per i triangoli. Usando la formula, si trova che l'area del triangolo descritto sopra è uguale al valore assoluto della metà di  , che è uguale a  .

E così l'area del pentagono diventerà

 

e per il quadrilatero sarà

 

Si consideri il poligono di vertici  ,  ,  ,   e   illustrato qui sotto:

 

L'area del poligono vale:

 

Utilizzo con le matriciModifica

Se si costruisce una matrice rettangolare dove siano indicate, su ogni riga, le coordinate di ogni vertice, avendo cura di riportare il primo vertice alla fine della lista, l'applicazione della formula risulterà notevolmente più semplice.

Sia il triangolo  ,  ,  . La matrice da utilizzare sarà:

  [3]

Innanzitutto si disegneranno dei trattini che uniscano, in diagonale i punti da sinistra a destra verso il basso, e viceversa (da destra a sinistra sempre verso il basso)

 

e si moltiplicheranno i due numeri connessi dalle linee, poi si calcolerà la somma dei prodotti

 

Lo stesso andrà fatto con le diagonali secondarie.

 

da cui si ha

 

Ora i due numeri vanno sottratti tra loro, e va considerato il valore assoluto della differenza (non esistono aree negative!):  . Infine, dimezzando il risultato si ottiene l'area:  .

Da questo sistema la formula prende il nome del "laccio di scarpa": infatti i trattini disegnati sulla matrice sembrano proprio i lacci di una scarpa.

FontiModifica

(EN) Shoelace Theorem, su artofproblemsolving.com.

NoteModifica

  1. ^ Copia archiviata (PDF), su staff.imsa.edu. URL consultato il 3 novembre 2011 (archiviato dall'url originale il 6 agosto 2009).
  2. ^ Geometry for Enjoyment and Challenge section 16.2
  3. ^ IMSA JHMC Guide, Page. 10 "Shoelace" by Cindy Xi
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