Formula di Chézy

Nell'ambito dell'ingegneria idraulica, la formula di Chézy, o formula di Chézy-Tadini[senza fonte], sviluppata dall'ingegnere francese Antoine de Chézy, è una formula empirica utilizzata per calcolare la velocità di un fluido a pelo libero in condizioni di moto uniforme[1] e puramente turbolento[2], il cui campo di applicazione è stato poi ampliato anche alle correnti in pressione.

Cenni storiciModifica

I presupposti della formula possono essere ricondotti ad Albert Brahms, geometra di un principato tedesco, il quale scrisse che, a differenza di una sfera posta su un piano inclinato, l'acqua fluente in un canale inclinato non si muove di moto uniformemente accelerato, bensì di moto uniforme perché l'accelerazione è controbilanciata dall'attrito; affermò inoltre che le velocità sono proporzionali alla radice quadrata della pendenza del fondo e scrisse che:[3]

(EN)

«the values of friction at equal slopes of water surface are to each other, in case of open flowing waters, as the areas wetted by the water are to the quantities that flow over them.»

(IT)

«i valori di attrito a parità di pendenze della superficie dell'acqua sono tra loro, nel caso di correnti a pelo libero, come le aree bagnate dall'acqua sono rispetto alle quantità che fluiscono su di esse.»

(Albert Brahms, Anfangs-Gründe der Deich - und Wasser-Baukunst[4])

Tuttavia Brahms non fornì alcuna formula.[3]

 
Ritratto di Antoine de Chézy eseguito da Louis Jean Desprez nel 1772–76

Nel 1769, l'ingegnere Jean-Rodolphe Perronet e il suo assistente Antoine de Chézy, all'epoca ispettore generale dei ponti e delle strade, erano stati designati a relazionare sul progetto di un canale presso il fiume Yvette, al fine di fornire acqua a Parigi;[3] a partire da quell'anno, Chézy raccolse dati sperimentali sul canale in terra Courpalet e sul fiume Senna[1], che inviò insieme alle sue conclusioni a Perronet in un documento francese datato 1775 con il titolo Tesi sulla velocità di flusso in un dato canale.[5]

Nella relazione intitolata Formule pour Trouver la Vitesse de l'Eau Conduit dan une Rigole donnée[6][7], datata 1776, riportò la formula:[5]

 

dove   è un fattore di resistenza al flusso,   è la pendenza di fondo,   e   sono rispettivamente l'area bagnata e il perimetro bagnato della sezione trasversale.

Chézy fornì inoltre il valore del coeffciente   calcolato per il canale Courpalet, pari a 31 m1/2/s, e per il fiume Senna, pari a 44 m1/2/s.[8][5]

Perronet non diede risalto al lavoro svolto da Chézy, il quale non ricercò mai visibilità; fu solo nel 1797 che Louis-François Letourneur, membro del Direttorio francese, assegnò a Chézy l'incarico di direttore dell'École des Ponts et Chaussées (l'attuale École des Ponts ParisTech); nel 1804, successivamente alla morte di Chézy[9], Gaspard de Prony e Pierre-Charles Lesage, ne riconobbero il merito dei contributi scientifici.[10]

La formulaModifica

La formula è la seguente:

 

dove:

Nella sua forma originariamente proposta[5], è valida per il solo moto uniforme, essendo  , dove   è la pendenza del fondo alveo.

Nel caso di correnti a pelo libero, viene utilizzata anche nella forma riportata di seguito:[11]

 

dove:

  •   è la portata in m3/s;
  •   è l'area bagnata della sezione trasversale in m2.

Estensione alle correnti in pressioneModifica

Nonostante la formula di Chezy abbia origine nel '700, è più recente la sua estensione alle correnti in pressione.[non chiaro]

Tenendo presente che   è il raggio idraulico, dato dal rapporto

 

in cui A rappresenta l'area della sezione del condotto e P rappresenta il contorno, o perimetro, del condotto.

  (per un condotto a sezione circolare)

e considerata J come la cadente dei carichi totali la formula di Chézy pur uguale nella scrittura è valida per le correnti in pressione.[non chiaro]

 

Tuttavia è spesso utilizzata per calcolare la cadente dei carichi, nella forma:

 

Coefficiente di ChézyModifica

Il coefficiente di Chézy è legato all'indice di resistenza λ dell'equazione di Darcy-Weisbach; infatti, combinando l'equazione di Chézy e l'equazione di Darcy-Weisbach si ottiene:

  .

Inoltre, diversi autori hanno fornito espressioni empiriche per il calcolo del coefficiente di Chézy; nel seguito si riportano le principali.

formula di BazinModifica

 

in cui γ è l'indice di scabrezza, tabulato per i vari materiali.

formula di KutterModifica

 

in cui m è l'indice di scabrezza, tabulato.

Può essere considerata equivalente alla formula di Bazin.

formula di Gauckler-StricklerModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: formula di Gauckler-Strickler.
 

in cui  , detto coefficiente di Gauckler-Strickler, misura la scabrezza della parete ed è reperibile in tabelle.

Essendo di tipo monomio, risulta di semplice utilizzo per applicazioni analitiche.

formula di ManningModifica

 

in cui   è detto numero di Manning, è pari al reciproco del coefficiente di Gauckler-Strickler e misura la scabrezza della parete; è reperibile in tabelle.

La formulazione è di origine anglosassone.

NoteModifica

  1. ^ a b Chow (1959), p. 93.
  2. ^ Çengel (2007).
  3. ^ a b c Clemens (1897), p. 73.
  4. ^ Brahms (1754).
  5. ^ a b c d Khoury (2004).
  6. ^ (EN) Nikolaos D. Katopodes, Free-Surface Flow:: Shallow Water Dynamics, Butterworth-Heinemann, 30 agosto 2018, p. 462, ISBN 978-0-12-815488-5. URL consultato il 27 aprile 2021.
  7. ^ che tradotto in italiano è "Formula per trovare la velocità uniforme che l'acqua avrà in un fosso o in un canale di cui sia nota la pendenza"
  8. ^ i valori dei coefficienti riportati sono stati convertiti nell'unità di misura del sistema internazionale, a partire dal sistema di misura anticamente utilizzato in Francia, presente nel documento originale.
  9. ^ avvenuta nel 1798
  10. ^ Clemens (1897), pp. 117-119.
  11. ^ ottenuta moltiplicando ambo i membri per  , ricordando che  

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica