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La formula di de Moivre è una delle basi dell'analisi dei numeri complessi, ed è legata al piano complesso, ovverosia alla rappresentazione dei numeri complessi su un piano, considerando l'asse x l'asse dei reali e l'asse l'asse degli immaginari. Essa permette di esprimere la potenza di un numero complesso nella sua forma trigonometrica.

valida per ogni numero reale , con intero e unità immaginaria, è un importante contributo alla matematica in quanto collega i numeri complessi alla trigonometria. Applicando al membro sinistro lo sviluppo del binomio e uguagliando le parti reali e le parti immaginarie dell'identità nella nuova forma, si ottengono espressioni utili per e in termini di e . Inoltre si può usare la formula per trovare le espressioni esplicite per le radici -esime dell'unità, cioè i valori per i numeri complessi tali che .

Abraham de Moivre era un buon amico di Newton. Nel 1698 scrisse che la formula era nota a Newton perlomeno già nel 1676. La formula di de Moivre può essere derivata dalla formula di Eulero, anche se la precede storicamente, tramite lo sviluppo in serie di Taylor

e dalla legge esponenziale

Indice

Dimostrazione per induzioneModifica

Distinguiamo i tre casi relativi a  ,   e  .

Per   si procede per induzione. Per   la formula è una semplice uguaglianza di un'espressione con se stessa. Come ipotesi induttiva assumiamo che sia valida per qualche intero positivo  , cioè assumiamo

 

Consideriamo poi il caso  :

 
 
  (per l'ipotesi induttiva)
 
  (per le formule di addizione di seno e coseno)

L'ultima identità dice che la formula, se vale per   allora è valida per   e per il Principio di induzione matematica si conclude che la formula vale per tutti gli   interi positivi.

Per   la formula si riduce alla semplice identità  , e  .

Per  , si considera l'intero positivo  . Di conseguenza

 
 , per quanto vale per  ; razionalizzando il denominatore
  e, per le proprietà trigonometriche di seno e coseno,
 

Dunque la formula è vera per tutti i valori interi di  . QED

GeneralizzazioneModifica

La formula di de Moivre viene generalizzata nel modo seguente.

Se   e   sono numeri complessi, allora

 

assume più di un valore, mentre

 

ha un solo valore. Comunque sia,   è uno dei valori di  

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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