Formula di Grassmann

In matematica, la formula di Grassmann è una relazione che riguarda le dimensioni dei sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale o dei sottospazi proiettivi di uno spazio proiettivo.

La formula di Grassmann, il cui nome è stato scelto in onore del matematico tedesco Hermann Grassmann, afferma inoltre che i sottospazi di uno spazio vettoriale muniti delle operazioni binarie + e costituiscono un reticolo modulare.

EnunciatoModifica

Sia   uno spazio vettoriale su un campo   dotato di dimensione finita, cioè dotato di una base finita. Siano   e   due sottospazi di  . Indicando con   il sottospazio somma di   e   dato da:[1]

 

e con   il loro sottospazio intersezione, la formula di Grassmann afferma che:[2]

 

Somma direttaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Somma diretta.

Due sottospazi   e   sono in somma diretta se  . In questo caso la formula di Grassmann asserisce che:

 

Se inoltre  , si dice che   si decompone in somma diretta di   e   e si scrive:

 

In questo caso il sottospazio   è un supplementare di   (e viceversa).

Ad esempio, lo spazio   delle matrici quadrate   a coefficienti in un campo   si decompone nei sottospazi delle matrici simmetriche e delle antisimmetriche:

 

La formula di Grassmann porta all'uguaglianza concernente le dimensioni dei due sottospazi della forma:

 

DimostrazioneModifica

Struttura della dimostrazioneModifica

La formula si dimostra individuando due basi per   e   che hanno in comune i vettori che costituiscono una base per la loro intersezione. Più precisamente, si prende una base   per  , e si completa ad una base   di  , e ad una base   di  . I vettori in:

 

generano lo spazio  , si verifica che sono indipendenti, e quindi sono una base per  . Un conteggio degli elementi nelle quattro basi trovate fornisce la formula di Grassmann.

Verifica dell'indipendenza lineareModifica

L'unico fatto che necessita di una dimostrazione approfondita è l'indipendenza dei vettori in:

 

che viene mostrata nel modo seguente. Sia:

 

Si supponga l'esistenza di una combinazione lineare nulla:

 

In altre parole, raggruppando:

 

si ottiene:

 

Da questo segue che  , e poiché sia   che   appartengono a  , ne segue che anche   appartiene a  . Quindi   appartiene all'intersezione  , e si scrive come combinazione lineare di elementi di  . D'altra parte, come elemento di  , è descritto come combinazione lineare di elementi di  : poiché ogni elemento ha un'unica descrizione come combinazione lineare di elementi di una base, ne segue che entrambe queste combinazioni hanno tutti i coefficienti nulli. Quindi:

 

Si ottiene quindi  . Poiché i vettori   sono una base di  , sono quindi indipendenti, e ne segue che anche:

 

Quindi i coefficienti sono tutti nulli, e l'insieme:

 

è formato da elementi indipendenti, ed è quindi una base.

Conteggio dimensioniModifica

Usando le notazioni appena introdotte, il conteggio delle dimensioni dà proprio:

 

Dimostrazione alternativaModifica

Si consideri la funzione:

 

che si verifica essere un'applicazione lineare. Si ha:

 

Il nucleo è uno spazio vettoriale isomorfo a  , e l'isomorfismo è dato da:

 

Si ha quindi:

 
 

dove si è applicato il teorema del rango più nullità.

Dimostrazione con il teorema di isomorfismoModifica

La formula di Grassmann può essere vista come corollario del secondo teorema di isomorfismo:

 

con   e   visti come gruppi (notazione additiva), e dove con   si intende l'ordinario quoziente insiemistico. Infatti si ha:

 
 

che è la formula di Grassmann.

EsempiModifica

Questa formula si visualizza facilmente e significativamente nel caso in cui   sia lo spazio vettoriale tridimensionale sui reali  ; le possibilità per i sottospazi portano alla seguente casistica:

  • Uno dei due sottospazi   o   ha dimensione 0 o 3: in questo caso (a meno di scambiare i nomi dei due sottospazi) si ha   e   e la formula si riduce a una identità.
  •   e   sono sottospazi di dimensione 1 (cioè rette passanti per l'origine):
    • se le rette sono distinte   contiene solo il vettore nullo ed ha dimensione 0 e   è il piano contenente le due rette, per cui la formula si riduce a 1 + 1 = 2 + 0.
    • se coincidono   e ancora si ha una identità.
  •   è una retta per l'origine e   un piano per l'origine:
    • se la retta non giace nel piano si ha: 1 + 2 = 3 + 0;
    • se la retta giace nel piano: 1 + 2 = 2 + 1.
  •   e   sono piani per l'origine:
    • se non coincidono la loro intersezione è una retta e si ha: 2 + 2 = 3 + 1;
    • se coincidono si ha un'identità che numericamente afferma: 2 + 2 = 2 + 2.

NoteModifica

  1. ^ S. Lang, Pag. 52.
  2. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 46.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica