Formula di Minkowski-Steiner

formula matematica

In matematica, la formula di Minkowski-Steiner è una formula che mette in relazione l'area superficiale e il volume di sottoinsiemi compatti dello spazio euclideo. Più precisamente, essa definisce l'area superficiale come la "derivata" di un volume chiuso definito in modo opportuno.

La formula di Minkowski-Steiner è utilizzata, insieme al teorema di Brunn-Minkowski, per provare la disuguaglianza isoperimetrica. Essa porta il nome di Hermann Minkowski e Jakob Steiner.

Enunciato della formula di Minkowski-SteinerModifica

Sia  , e sia   un insieme compatto. Indichiamo con   la misura di Lebesgue (volume) di  . Definiamo la quantità   mediante la formula di Minkowski-Steiner

 

dove

 

denota la palla chiusa di raggio   e

 

è la somma di Minkowski di   e  , in modo che

 

OsservazioniModifica

Misura superficialeModifica

Per insiemi   "sufficientemente regolari", la quantità   corrisponde effettivamente alla misura  -dimensionale della frontiera   di  . Consultare Federer (1969) per una piena trattazione di questo problema.

Insiemi convessiModifica

Quando l'insieme   è un insieme convesso, il limite inferiore scritto sopra è un vero limite, e si può dimostrare che

 

dove i   sono funzioni continue di   (vedere quermassintegral) e   denota la misura (volume) della sfera unitaria in  :

 

dove   denota la funzione Gamma.

Esempio: volume e area superficiale di una sferaModifica

Prendendo   si ottiene la seguente formula ben conosciuta valida per l'area superficiale della sfera di raggio  ,  :

 
 
 

dove   è come indicato sopra.

BibliografiaModifica

  • Dacorogna, Bernard, Introduction to the Calculus of Variations, London, Imperial College Press, 2004, ISBN 1-86094-508-2.
  • Federer, Herbert, Geometric Measure Theory, New-York, Springer-Verlag, 1969.

Voci correlateModifica

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