Formula di Perron

In teoria analitica dei numeri, la formula di Perron è una formula che permette di calcolare la somma di una funzione aritmetica tramite una trasformata di Mellin inversa. La formula prende il nome da Oskar Perron.

EnunciatoModifica

Sia   una funzione aritmetica, e sia

 

la sua serie di Dirichlet corrispondente. Si supponga che la serie di Dirichlet sia assolutamente convergente per  . Allora la formula di Perron afferma che[1]

 ,

per ogni   e  . In questo caso, la stella a fianco del simbolo di sommatoria segnala che l'ultimo termine della somma va moltiplicato per 1/2 quando   è un intero.

DimostrazioneModifica

Un semplice abbozzo di dimostrazione può essere ricavato dalla formula di sommazione di Abel:

 

Questa non è altro che una trasformata di Laplace con il cambio di variabile  . La formula di Perron si ricava invertendo questa relazione.

EsempiModifica

A causa della sua relazione generale con le serie di Dirichlet, la formula di Perron è comunemente applicata a svariate somme di teoria dei numeri. In questo modo, ad esempio, si ottiene l'importante rappresentazione integrale della funzione zeta di Riemann:

 

e una formula analoga per le funzioni L di Dirichlet:

 

dove

 

e   è un carattere di Dirichlet.

NoteModifica

BibliografiaModifica

  • (EN) Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg, Springer-Verlag, 1976, p. 243, ISBN 978-0-387-90163-3.
  • (EN) Gérald Tenebaum, Introduction to analytic and probabilistic number theory, Cambridge, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-41261-7.

Voci correlateModifica