Formula di Viète

In matematica, la formula di Viète, così denominata in onore del matematico francese François Viète (1540-1603), è la seguente rappresentazione mediante prodotto infinito della costante matematica π:

La formula di Viète, così come fu riportata sul suo Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (1593)

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$

L'espressione sulla destra deve essere intesa come espressione limite (per $n\rightarrow \infty$)

$\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{a_{i} \over 2}$

dove a_n è il radicale quadratico dato dalla formula ricorsiva $a_{n}={\sqrt {2+a_{n-1}}}$ con condizione iniziale $a_{1}={\sqrt {2}}$.

Dimostrazione

Consideriamo la formula di duplicazione per la funzione seno

$\,\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ .

Applichiamola due volte per esprimere il seno dell'angolo quadruplo

$\,\sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x)=4\sin(x)\cos(x)\cos(2x)$ .

Applicandola reiteratamente si ottiene l'identità

${{\sin(2^{n}x)} \over {2^{n}\sin(x)}}=\prod _{i=0}^{n-1}\cos(2^{i}x)$

valido per tutti gli interi positivi n (la dimostrazione dettagliata si ottiene con lo schema di dimostrazione per induzione). Ponendo y := x 2ⁿ e dividendo entrambi i membri per cos(y/2) si ottiene

${{\sin(y)} \over {\cos({y \over 2})}}\cdot {1 \over {2^{n}\sin({y \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left({y \over {2^{i+1}}}\right).$

Usando di nuovo la formula di duplicazione sin y=2sin(y/2)cos(y/2) otteniamo

${{2\sin({y \over 2})} \over {2^{n}\sin({y \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left({y \over {2^{i+1}}}\right).$

Nel caso particolare y = π si ottiene l'identità

${2 \over {2^{n}\sin({\pi \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=2}^{n}\cos \left({\pi \over {2^{i}}}\right)\ .$

Rimane da collegare i fattori del secondo membro di questa identità con i termini a_n introdotti inizialmente. Utilizzando la formula della bisezione dell'angolo per il coseno,

$2\cos(x/2)={\sqrt {2+2\cos x}},$

se ne deriva che $b_{i}:=2\cos \left({\pi \over {2^{i+1}}}\right)$ soddisfa la formula ricorsiva $\,b_{i+1}={\sqrt {2+b_{i}}}$ con condizione iniziale $b_{1}=2\cos \left({\pi \over 4}\right)={\sqrt {2}}=a_{1}$. Quindi a_n=b_n per tutti gli interi positivi n.

La Formula di Viète segue considerando il limite n → ∞. Notiamo infatti che

$\lim _{n\rightarrow \infty }{2 \over {2^{n}\sin({\pi \over {2^{n}}})}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{2 \over \pi }\cdot {{\pi \over 2^{n}} \over {\sin({\pi \over {2^{n}}})}}={2 \over \pi }$

come conseguenza del limite notevole $\lim _{x\rightarrow 0}\,{x \over {\sin x}}=1$.