Formula integrale di Cauchy

In matematica, la formula integrale di Cauchy è uno strumento fondamentale dell'analisi complessa. Il teorema mette in relazione il valore di una funzione olomorfa in un punto con il suo integrale di linea lungo una curva semplice chiusa.

Dalla formula di Cauchy dipendono numerose proprietà delle funzioni olomorfe.

EnunciatoModifica

Sia   una funzione olomorfa definita su un insieme   aperto del piano complesso  . Sia   una curva semplice chiusa contenuta in  . Sia   la regione racchiusa da   percorsa in senso antiorario e sia   un punto qualsiasi interno ad   dove la funzione è definita, che non sia sulla curva  , allora vale la relazione:

 

La formula di Cauchy esprime quindi il valore di una funzione in ogni punto del dominio   mediante i valori che essa assume sul contorno di tale dominio, tramite un integrale di linea.

DimostrazioneModifica

Si consideri un cerchio   centrato in   di raggio   che sia interamente contenuto in  . Per il teorema integrale di Cauchy sono uguali i due integrali

 

Il secondo integrale può essere calcolato con la sostituzione  , ottenendo

 

Ma per il teorema integrale di Cauchy l'integrale sul cerchio è indipendente dal raggio, pertanto si può calcolare per qualunque  , in particolare si può far tendere   a  , e siccome   è continua si ottiene

 

e quindi in definitiva

 

GeneralizzazioneModifica

Sia   una funzione olomorfa definita su un insieme   aperto del piano complesso  . Sia   una curva chiusa contenuta in  . Sia   la regione racchiusa da   percorsa in senso antiorario e sia   un punto qualsiasi interno a   dove la funzione è definita, che non sia sulla curva  , allora vale la relazione:

 

DimostrazioneModifica

Consideriamo la funzione

 

la quale è olomorfa in  , inoltre vale  . Quindi, per il teorema integrale di Cauchy, si ha

 

In altre parole si ottiene che

 

Infine, dalla definizione di indice rispetto a una curva, si ottiene la tesi.

ApplicazioniModifica

DerivateModifica

Dalla formula di Cauchy segue che ogni funzione olomorfa è derivabile infinite volte. Le derivate della funzione sono calcolabili tramite una formula analoga, valida nelle stesse ipotesi descritte sopra:

 

DimostrazioneModifica

Si consideri un incremento   in modo che  . Utilizzando la rappresentazione integrale si ha:

 

Quindi:

 

passando al limite per   si ottiene:

 

Per ottenere questo risultato si poteva pensare di derivare direttamente sotto il segno di integrale, ma la giustificazione di questo approccio è contenuta nell'analisi precedente. Ora però per calcolare le successive derivate si può derivare direttamente sotto il segno di integrale. Abbiamo già dimostrato che la formula di derivazione è vera per  , pertanto procediamo per induzione: dimostriamo che se è vera per  , allora è vera anche per  :

 

Teorema della mediaModifica

Il valore di una funzione analitica   in un punto coincide con la media dei valori assunti dalla funzione sui punti di un cerchio di raggio arbitrario   centrato in  , ossia

 

Il raggio deve essere scelto in modo che il cerchio sia interamente contenuto nel dominio di analiticità della   e non contenga punti singolari.

DimostrazioneModifica

Basta utilizzare il teorema di rappresentazione integrale sul cerchio di raggio   centrato in   e usare la sostituzione   ottenendo

 

StimeModifica

Sia   una funzione limitata  ,   una curva chiusa contenuta nella regione di analiticità di  ,   la lunghezza della curva e   la distanza minima tra un punto   e  . Valgono allora le seguenti disuguaglianze:

 

DimostrazioneModifica

Per la dimostrazione basta osservare le seguenti disuguaglianze nelle quali si è usata la disuguaglianza di Darboux considerando che   e che  

 

Inverso del teorema di rappresentazione integraleModifica

Se una funzione   può essere scritta nella forma

 

ed è una funzione continua, allora   è una funzione analitica all'interno del dominio   delimitato dalla curva  .

DimostrazioneModifica

Si calcoli

 

Per ipotesi   è continua, quindi anche limitata (quindi esiste l'integrale), quindi

 

quindi esiste la derivata di  :

 

Ma se la derivata esiste, allora valgono le condizioni di Cauchy-Riemann, perciò   è analitica.

BibliografiaModifica

  • (EN) A.B. Aleksandrov, Essays on non locally convex Hardy classes V.P. Havin [V.P. Khavin] (ed.) N.K. Nikol'skii (ed.) , Complex analysis and spectral theory , Springer (1981) pp. 1–89
  • (EN) M. Christ, J.L. Journé, Estimates for multilinear singular integral operators with polynomial growth (1986)

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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