Le formule di Waring sono formule algebriche utilizzate nella soluzione di un sistema simmetrico, e derivano dalle teorie di Edward Waring, matematico britannico del XVIII secolo.

Le formule più utilizzate sono quelle per potenze del binomio di ordine n = 2 oppure 3, che sono quelle del quadrato e cubo del binomio. Questo calcolo serve a trasformare le potenze del binomio di variabili e in somme e prodotti di queste variabili. Tali somme e prodotti di queste variabili sono riconducibili alla forma canonica di un sistema simmetrico. Da notare che: e .

Per il postulato di Peano, la formula di Waring è deducibile per ogni potenza n. Infatti la proprietà P(n) è stata dedotta per tre valori di n = (2,3,4), nei quali sono stati messi in evidenza i successivi passaggi algebrici, ed è perciò generalizzabile ad qualsiasi.

Come già per la quarta potenza nella quale viene sostituita la formula della seconda potenza del binomio, la ricorsione delle prime 4 in quelle di ordine n-esimo, permette di esprimere il tutto in potenze della somma e prodotto delle variabili a e b. È opportuno vedere le formule di Waring in relazione ai sistemi simmetrici in quanto sono nate ed essenzialmente si usano in questo contesto, nel quale è necessario trasformare le variabili in somme e prodotti.

La risoluzione con questo metodo per ogni potenza n è evidente se si considera il triangolo di Tartaglia: data una potenza n, per ogni termine del tipo: , ne esiste uno del tipo: . Con un raccoglimento a fattor comune dei due termini, si otterranno: un termine del tipo , per , ovvero .

Le formule di Waring sono deducibili (per una data potenza n) dalla formula di Tartaglia, scomponendo la sommatoria in tre tipi di termini:

  • ,
  • , per n pari,
  • , dove:

,

con k numero intero.

Dunque, nelle sommatorie troviamo: la potenza n-esima del binomio, il prodotto dei termini elevato a metà potenza, dei termini "misti" di potenze del prodotto dei termini e di loro somme secondo multipli interi di 2 (fino a ; o , se è dispari).

Abbiamo riportato le formule di Waring per potenze superiori alla quarta per generalizzare agevolmente la formula, ad qualsiasi.

, dove:

  • per dispari, e ;
  • per pari, e , con i-esimo coefficiente del triangolo di Tartaglia per la potenza , iniziando a contare da quello più a sinistra.

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