Inizia a giocare a tennis all'età di cinque anni[1] e dal 1991 viene allenato da John Larsen. Alla sua prima apparizione tra i professionisti, viene eliminato nelle qualificazioni del Copenaghen Open 2001, torneo del circuito maggiore. L'anno successivo gioca alcuni tornei nel circuito ITF e nei circuiti satelliti e vince i suoi primi incontri. Dal 2003 gioca con continuità nel circuito ITF e a febbraio esordisce con una sconfitta nel tabellone principale di un torneo ATP, di nuovo al Copenaghen Open. Ad aprile debutta nella squadra danese di Coppa Davis superando Malek Jaziri nella sfida vinta 4-1 contro la Tunisia. A novembre alza il primo trofeo da professionista vincendo il singolare all'ITF Futures Vietnam F1 di Hanoi. Il primo titolo in doppio arriva nel gennaio 2004 al Germany F3 di Oberhaching in coppia con Rasmus Norby. Quella stagione fa il suo esordio in doppio in un torneo delle ATP Challenger Series e dimostra di essere più competitivo in doppio vincendo altri quattro tornei ITF.
Nel gennaio 2005 disputa la prima finale Challenger in doppio a Wrexham, e in coppia con Tuomas Ketola viene sconfitto da Mark Hilton / Jonathan Marray. Dopo aver vinto 5 titoli ITF in singolare e tredici in doppio, nel novembre 2006 vince il primo torneo Challenger a Rimouski in coppia con Kristian Pless. Si ripete tre settimane dopo vincendo lo Shrewsbury Challenger assieme a Philipp Marx, e a fine torneo entra per la prima volta nella top 200 del ranking. L'anno successivo fa la sua prima esperienza nei tornei del Grande Slam uscendo al turno decisivo delle qualificazioni in singolare a Wimbledon, vince inoltre tre titoli Challenger in doppio e si spinge fino alla 146ª posizione mondiale.
Vince altri due Challenger in doppio nel 2008 e sale alla 130ª, mentre a luglio disputa la prima finale Challenger in singolare a Dublino e viene sconfitto da Robert Smeets. Nei due anni successivi non compie sostanziali progressi in classifica, mentre nel 2011 domina la stagione Challenger in doppio raggiungendo otto finali e vince quelle di Numea, Bergamo, Monza, Recanati e Segovia. Ad agosto entra nella top 100 e il mese dopo giunge alla 91ª posizione mondiale.
Agli Australian Open 2012 esordisce in un tabellone del Grande Slam in singolare, dopo aver superato le qualificazioni, e in doppio, per diritto di classifica, ed esce al primo turno in entrambi i tornei. In quella che sarà la sua unica apparizione nei tornei del Grande Slam in singolare, raccoglie solo sette giochi contro il nº 32 del mondo Kevin Anderson. Desta sensazione al torneo di doppio a Wimbledon dove, in coppia con Jonathan Marray conquista il titolo più prestigioso in carriera.[2] In semifinale eliminano in quattro set i fuoriclasse Bob e Mike Bryan e si aggiudicano il titolo sconfiggendo Robert Lindstedt / Horia Tecău con il punteggio di 4-6, 6-4, 7-6, 6-7, 6-3. Il trionfo gli vale la 24ª posizione mondiale. A settembre disputa un'altra finale del circuito maggiore a Metz, e in coppia con Johan Brunström perde in due set contro Nicolas Mahut / Édouard Roger-Vasselin. La grande stagione viene incoronata con la sua prima partecipazione al prestigioso Masters di fine anno, di nuovo con Marray si qualifica alla semifinale con i successi su Mahesh Bhupathi / Rohan Bopanna e Max Mirnyi / Daniel Nestor, e vengono eliminati da Marcel Granollers / Marc Lopez. Chiude la stagione con il nuovo miglior ranking al 21º posto.
Inizia il 2013 disputando una nuova finale ATP con Johan Brunström all'Auckland Open e cedono in due set a Colin Fleming / Bruno Soares. I quarti di finale raggiunti al Miami Open con Grigor Dimitrov lo proiettano al 17º posto mondiale, che rimarrà il miglior ranking in carriera. Nel periodo che segue disputa due semifinali ATP, a Düsseldorf con Andre Sa e a Eastbourne con Marcin Matkowski. Scende al 36º posto dopo la sconfitta al secondo turno a Wimbledon, e viene eliminato al secondo turno anche al Roland Garros e agli US Open. Chiude la stagione al 60º posto ATP.
All'esordio stagionale del 2014 vince il torneo ATP di Chennai con Brunström, battendo in finale Marin Draganja / Mate Pavić per 6-2, 4-6, [10-7]. Continua comunque a scendere in classifica e ritorna a giocare nei tornei minori con alcune apparizioni nei tornei ATP, tra cui quello di Düsseldorf, dove arriva in semifinale. Esce dalla top 100 per alcune settimane e vi fa rientro a novembre vincendo il torneo di Charlottesville, nel suo primo titolo Challenger dopo quasi tre anni. Esce di nuovo dalla top 100 a inizio 2015, non gioca per buona parte della stagione primaverile e ad aprile esce anche dalla top 200. Inizia a risalire con il terzo turno raggiunto a Wimbledon, nel finale di stagione vince quattro tornei Challenger con Brunström e finisce il 2015 a ridosso della top 100.
Continua la risalita nella prima parte del 2016 con tre finali Challenger e vincendone una. A giugno vince il suo 14º e ultimo titolo ITF in singolare, che chiude senza aver mai vinto tornei Challenger né ATP. In una delle rare apparizioni stagionali nel circuito maggiore, arriva in semifinale in doppio al Rosmalen Open e si viene a trovare in 70ª posizione. Gioca poco e non consegue risultati di rilievo nel finale di stagione. Anche nel 2017 gioca pochi tornei, vince un solo titolo Challenger e a settembre resta per una settimana fuori dalla top 300. Torna a giocare con regolarità nel 2018, nell'arco della stagione vince cinque delle sei finali Challenger disputate e soprattutto torna protagonista a Wimbledon raggiungendo la finale in coppia con Joe Salisbury. Eliminano tra gli altri i top 20 Juan Sebastian Cabal e Robert Farah e vengono eliminati al quarto set da Raven Klaasen / Michael Venus, risultato con cui risale al 64º posto mondiale. Chiude la stagione al 58º con il successo al Knoxville Challenger.
Il 2019 è un'altra stagione positiva per Nielsen, dopo alcuni anni gioca quasi esclusivamente nel circuito maggiore e per la prima volta raggiunge il terzo turno sia agli Australian Open che al Roland Garros. Ad aprile perde la finale all'ATP del Grand Prix Hassan II in coppia con Matwé Middelkoop, sconfitti in due set da Jürgen Melzer / Franko Škugor. Il mese successivo si aggiudica il titolo agli Internazionali di Baviera assieme a Tim Pütz, sconfiggendo in finale Marcelo Demoliner / Divij Sharan per 6-4, 6-2. Sarà il suo ultimo titolo nel circuito maggiore e gli vale il ritorno al 34º posto mondiale. Perde diverse posizioni con l'eliminazione al terzo turno a Wimbledon. Sconfitto in semifinale all'Austrian Open Kitzbühel in coppia con Pütz, assieme al quale a novembre arrivano anche gli ultimi titoli in carriera con le vittorie nei Challenger di Bratislava e di Helsinki.
Anche nel 2020 gioca soprattutto nel circuito ATP, e nei primi due mesi disputa due semifinali con Pütz a Doha e a Marsiglia. Dopo la lunga pausa del tennis a causa della pandemia di COVID-19 ha inizio un periodo negativo interrotto solo al Roland Garros, dove raggiunge per la prima volta i quarti di finale, e chiude la stagione al 55º posto. Nella maggior parte dei tornei della stagione 2021 esce al primo turno. Raggiunge per la prima volta il terzo turno in un Challenger a settembre e a novembre disputa la sua ultima finale in carriera al Charlottesville Men's Pro Challenger, persa in coppia con Treat Huey contro William Blumberg / Max Schnur. Il 2022 è la sua ultima stagione e gioca nel circuito ATP solo tre tornei australiani di inizio anno. Vince il suo ultimo incontro del circuito agli Australian Open 2022 per ritiro degli avversari ed esce di scena al secondo turno. Gli ultimi impegni della carriera sono in Coppa Davis, a marzo viene sconfitto in doppio nella sfida persa 0-4 contro l'India e a settembre si impone in doppio nella sfida vinta 3-2 contro El Salvador. Chiude l'esperienza in Davis con un bilancio di 63 vittorie (37 in singolare e 26 in doppio) e 40 sconfitte (25 in singolare).[3]
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Danimarca
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Torneo di Wimbledon, Londra
Robert Lindstedt 
Horia Tecău
Chennai Open, Chennai
Marin Draganja 
Internazionali di Baviera, Monaco di Baviera
Marcelo Demoliner 
Open de Moselle, Metz
Auckland Open, Auckland
Grand Prix Hassan II, Marrakech
Matwé Middelkoop
Jürgen Melzer 
Vietnam F1, Hanoi
Spain F23, Madrid
Ireland F1, Limerick
Andis Juška
Italy F29, Piombino
Andrej Golubev
Dawid Olejniczak
Korean Rep. F3, Changwon
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Australian Open, Melbourne
US Open, New York
Giochi Olimpici
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