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In matematica, un funzionale è una qualsiasi funzione che, dato un elemento di uno spazio vettoriale, restituisce un valore nel rispettivo campo di scalari (ad esempio o ). Particolare importanza rivestono i funzionali che sono trasformazioni lineari: l'insieme dei funzionali lineari su uno spazio vettoriale è detto duale dello spazio vettoriale.

DefinizioneModifica

L'associazione:

 

è una funzione con argomento  . Una funzione che associa un'altra funzione al valore di quest'ultima in  :

 

è detta funzionale. Ad esempio, le distribuzioni sono funzionali lineari continui (la linearità non implica la continuità in spazi infinito dimensionali).

Equazioni funzionaliModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione funzionale.

Un'equazione funzionale è un'equazione per un funzionale   in cui la funzione incognita compare in forma implicita, ovvero  , dove   sono funzioni (variabili) note e/o incognite. Ad esempio, si dice che una funzione   è additiva se soddisfa l'equazione funzionale di Cauchy:

 

Funzionali lineariModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Funzionale lineare.

L'insieme dei funzionali che sono lineari e sono definiti sui vettori di uno spazio vettoriale   costituisce lo spazio duale  . Il prodotto scalare definisce in modo naturale un isomorfismo tra vettori e covettori, cioè tra lo spazio vettoriale e il suo duale. Se il prodotto scalare è euclideo e la base è ortonormale allora le componenti di vettori e covettori coincidono.

DistribuzioniModifica

Sia   lo spazio delle funzioni a supporto compatto in   ed infinitamente derivabili. Un funzionale   si dice regolare se   tale che:

 

Le funzioni   sono chiamate funzioni test.

In fisica (e spesso anche in matematica) si indica solitamente con:

 

qualsiasi distribuzione, anche non regolare, benché in questi casi non si sappia definire che cosa rappresenta l'integrale; si parla allora di notazione simbolica, ed è necessario prestare un minimo di attenzione.

Si può mostrare che tutti gli   definiscono distribuzioni regolari, ma non tutti gli elementi di   sono regolari, ad esempio la   (delta di Dirac). In questi casi non è possibile costruire il funzionale a partire da una funzione  , ma solo come di una successione di funzioni.

Derivata funzionale e integrale funzionaleModifica

Le derivate funzionali sono derivate di funzionali: portano cioè informazione su come un funzionale cambia quando la funzione argomento cambia di una piccola quantità. Richard Feynman ha usato gli integrali funzionali come idea centrale nella sua formulazione della meccanica quantistica come somma sui cammini. Questo uso implica un integrale preso su un certo spazio funzionale.

BibliografiaModifica

  • (EN) A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, Elements of the theory of functions and functional analysis , 1–2 , Graylock (1957–1961)

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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