Funzione G di Barnes

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In matematica, la funzione G di Barnes è una funzione speciale intera che costituisce una estensione a un dominio complesso della successione dei superfattoriali ed è collegata alla funzione Gamma e alla funzione K. Il suo nome ricorda il matematico inglese Ernest William Barnes (1874-1953) e solitamente viene denotata con .

DefinizioneModifica

Una possibile definizione della funzione   di Barnes si serve del prodotto di Weierstrass:

 

dove   denota la costante di Eulero-Mascheroni.

Equazione funzionale e conseguenti valori specialiModifica

La   soddisfa l'equazione funzionale

 

combinata con la condizione di normalizzazione  . Questa equazione implica che la   per argomenti interi assuma i seguenti valori:

 

e di conseguenza sia esprimibile come

 

qui, insieme alla funzione Gamma, compare la funzione K, per la quale si ha:

 

Sviluppo di Taylor e altri valori particolariModifica

Per   si ha il seguente sviluppo di Taylor

  ,

dove   denota la funzione zeta di Riemann.

Per la   si trovano i seguenti valori particolari:

 
 
 
 
 

qui   denota la costante di Catalan,   la costante di Glaisher-Kinkelin per la quale

 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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