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Funzione gamma sui numeri reali

In matematica, la funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo si ha:

,

dove denota il fattoriale di cioè il prodotto dei numeri interi da a : .

Indice

DefinizioneModifica

 
Valore assoluto della funzione gamma sul piano complesso

La notazione   è dovuta a Legendre. Se la parte reale del numero complesso   è positiva, allora l'integrale

 

converge assolutamente. Comunque, usando la continuazione analitica, si può estendere la definizione della   a tutti i numeri complessi  , anche con parte reale non positiva, ad eccezione degli interi minori o uguali a zero. Usando l'integrazione per parti, in effetti, si può dimostrare che:

 

per cui si ha:

 .

In questo modo, la definizione della   può essere estesa dal semipiano   a quello   (ad eccezione del polo in  ), e successivamente a tutto il piano complesso (con poli in  ).

Siccome  , la relazione riportata sopra implica, per tutti i numeri naturali  , che:

 

In statistica si incontra di frequente (per esempio nella variabile casuale normale) l'integrale:

 

che si ottiene ponendo  , e quindi  , ottenendo quindi  

 

Espressioni alternativeModifica

Le seguenti espressioni alternative per la funzione Gamma, sono valide su tutto il piano complesso (ad eccezione dei poli):

 

dovuta a Gauss,

 

dove   è la costante di Eulero-Mascheroni, dovuta a Schlömilch e ottenibile applicando il teorema di fattorizzazione di Weierstrass alla funzione  

 

Un'ulteriore espressione alternativa è la seguente:

 

In questa formula sono espliciti i poli di ordine   e residuo   che la funzione Gamma ha in  , per ogni   intero non negativo.

La singolarità nell'origine può essere anche dedotta dalla relazione di ricorrenza. Infatti

 

dove è stato fatto uso della relazione  .

ProprietàModifica

Altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula di riflessione di Eulero:

 

e quella di duplicazione:

 

che a sua volta è un caso particolare della formula di moltiplicazione:

 

la quale per   diventa:

 

Quest'ultima identità è ottenibile anche dalla formula di riflessione e dall'identità trigonometrica   .

Le derivate della funzione Gamma:

 

possono essere espresse in funzione della stessa funzione Gamma e di altre funzioni, per esempio:

 

dove   è la funzione poligamma di ordine zero. In particolare,

 

dove   è la costante di Eulero-Mascheroni.

Si ha, inoltre:

 

che per   intero positivo si riduce ad una somma finita

 

dove   è l'(m-1)-esimo numero armonico.

Derivando membro a membro rispetto a   si ha, ancora,

 

che per   diverge, mentre per   diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2

 

Lukacs studiò altre proprietà nell'opera A Characterization of the Gamma Distribution negli Annals of Mathematical Statistics del 1955.

Ricordiamo anche che, a partire dalla funzione Gamma, la funzione poligamma di ordine   è definita nel modo seguente:

  .

Valori notevoliModifica

Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è:

 

che si può trovare ponendo   nella formula di riflessione.

Oltre a questo e al già citato valore assunto sui numeri naturali, sono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di  

 
 

dove   denota il semifattoriale e la parentesi tonda a due livelli il coefficiente binomiale.

Teorema di unicitàModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Bohr-Mollerup.

Il teorema di Bohr-Mollerup afferma che, tra tutte le funzioni che estendono la funzione fattoriale, solo la funzione Gamma è tale che il suo logaritmo è una funzione convessa.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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