Apri il menu principale

Le funzioni gamma incomplete sono funzioni speciali definite da integrali.

Con le notazione di Abramowitz e Stegun:

dove e la funzione gamma di Eulero.

Con le notazione di Nielsen:

ProprietàModifica

 

 

Relazione con altre funzioni specialiModifica

La funzione degli errori è una funzione gamma incompleta:

 

La funzione integrale esponenziale è una funzione gamma incompleta:

 

È possibile esprimere la funzione   con la funzione ipergeometrica confluente o la funzione di Whittaker:

 

Le derivateModifica

La derivate della funzione   superiore e incompleta rispetto alla variabile x è ben nota. Essa è semplicemente data dall'integranda della funzione integrale presente nella sua definizione, ovvero:

 

La derivata rispetto alla prima variabile invece è data da[1]

 

mentre la derivate seconda è data da

 

dove la funzione   è un caso speciale della G-funzione di Meijer:

 

Questo particolare caso speciale ha la proprietà di essere chiuso internamente ovvero può essere usato per esprimere tutte le derivate successive. In generale si ha che

 

dove   è la permutazione definita attraverso il simbolo di Pochhammer, ovvero

 

Tutte le derivate possono essere ottenute in successione partendo da

 

e

 

La funzione T(m,a,x) può essere calcolata usando la sua rappresentazione in serie che risulta essere valida quando  , ovvero

 

Nell'espressione sopra si assume che s sia un intero non negativo o zero e il suo valore richiede il calcolo di un limite. Il caso   può essere analizzato usando l'estensione analitica della funzione. Alcuni casi speciali di questa funzione sono

 

e

 

dove   è la funzione integrale esponenziale. Queste derivate e la funzione T(m,a,x) possono essere utilizzate per fornire soluzioni esatte ad un certo numero di integrali attraverso la derivazione ripetuta della definizione integrale della funzione gamma superiore e incompleta. Per esempio,

 

Questa formula può essere ulteriormente estesa o generalizzata per una ampia classe di trasformate di Laplace e di Mellin. Quando combinata con un sistema algebrico computerizzato, lo studio delle funzioni speciali fornisce un potente strumento per la soluzione di integrali definiti, in particolare quelli utilizzati nelle applicazioni ingegneristiche[2] (vedere anche integrazione simbolica per maggiori dettagli).

NoteModifica

  1. ^ K.O Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore e T.C. Scott, Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp.149-165, [1]
  2. ^ K.O. Geddes e T.C. Scott, Recipes for Classes of Definite Integrals Involving Exponentials and Logarithms, Proceedings of the 1989 Computers and Mathematics conference, (MIT 12 giugno 1989), editado por E. Kaltofen e S.M. Watt, Springer-Verlag, New York, (1989), pp. 192-201. [2]

BibliografiaModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica