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Funzione a supporto compatto

In matematica, una funzione a valori reali o complessi definita su un dominio di (o, più in generale, in uno spazio topologico) si dice funzione a supporto compatto se ha per supporto un sottoinsieme compatto dell'insieme di definizione (il supporto è definito come la chiusura dell'insieme dei punti del dominio in cui la funzione non si annulla).

Rivestono particolare importanza le funzioni a supporto compatto che sono anche continue o infinitamente differenziabili: in tal caso si restringe il campo ad una classe molto ristretta di funzioni, dette funzioni di test, che vengono usate principalmente nella teoria delle distribuzioni.

Dal teorema di Heine-Borel e dalla definizione di supporto di una funzione segue che una funzione è a supporto compatto se è diversa da 0 in un insieme chiuso e limitato di punti.

DefinizioneModifica

Una funzione definita su uno spazio topologico   si dice essere a supporto compatto se il suo supporto:

 

è un sottoinsieme compatto di  , ovvero per ogni famiglia   di sottoinsiemi aperti di   tale che:

 

esiste un sottoinsieme finito   di   tale che:[1]

 

Un'importante classe di funzioni a supporto compatto è quella delle funzioni test. Lo spazio delle funzioni test sul dominio   di   è chiamato  , mentre lo spazio delle funzioni test su   è denotato con  , ove non sia necessario specificare il numero di variabili.

È da notare che una funzione a supporto compatto in un dato dominio di   può essere prolungata in modo naturale ad una funzione a supporto compatto su tutto   semplicemente assegnando il valore 0 a tutti i punti al di fuori del dominio originario. In questo modo è possibile pensare ad una funzione in   come avente dominio in  , e quindi se   si ha anche  .

Le funzioni continue a supporto compattoModifica

Una classe particolarmente importante di funzioni a supporto compatto è quella delle funzioni che sono anche continue. Si dimostra che lo spazio   delle funzioni continue a supporto compatto su uno spazio di Hausdorff localmente compatto   e a valori complessi è denso in uno spazio Lp definito su uno spazio di misura, a patto che  .[2] Tale classe di funzioni gode inoltre della proprietà che due funzioni in   differiscono soltanto per insiemi di misura di Lebesgue non nulla, e pertanto se sono uguali quasi ovunque allora sono uguali. Inoltre, facendo coincidere   con lo spazio  , poiché   è completo, esso è il completamento dello spazio ottenuto dotando   della  -metrica. Nel caso in cui  , il completamento di   tramite la  -metrica è lo spazio   delle funzioni continue che si annullano all'infinito.[3]

ProprietàModifica

Le funzioni a supporto compatto godono inoltre delle seguenti proprietà.

 
ha sempre valore finito.
 
In altre parole, nell'eseguire l'integrazione per parti con una funzione test, i termini di bordo si annullano.
  • La somma o il prodotto di due funzioni a supporto compatto è ancora a supporto compatto.

ConvergenzaModifica

Lo spazio   può essere munito di una struttura di spazio topologico definendo un criterio di convergenza per le successioni. Una successione di funzioni   di   converge a una funzione   se il supporto di   è contenuto nel supporto di  , e se le derivate di ogni ordine di   convergono uniformemente alle corrispondenti derivate di  .

Si tratta di una condizione molto forte di convergenza. Infatti, una successione convergente in   è anche puntualmente convergente, uniformemente convergente e convergente nello spazio delle funzioni p-sommabili per ogni  .

EsempiModifica

  • Un esempio di funzione a supporto compatto è la funzione a campana:
 
definita su tutto  .
La funzione   ha supporto nel disco chiuso di raggio 1 centrato nello 0, è infinitamente derivabile e si annulla con tutte le sue derivate per  .
 
La funzione Ω in dimensione 1
  • Una stretta parente della funzione a campana è data,  , da:
 
dove   è una costante reale positiva scelta in modo da avere:
 
La funzione   gode delle stesse proprietà della campana, salvo che ha supporto nel disco chiuso di raggio  . Si può dimostrare che le   sono approssimanti della delta, nel senso che, presa una funzione   continua nello 0, vale  .
  • Un'importante funzione a supporto compatto in una variabile si ottiene dalla convoluzione di   con la funzione caratteristica  , che vale 1 per   e 0 altrimenti. Si ha quindi, per ogni  :
 
Si vede che, per questa funzione, vale:
 
quindi, per   puntualmente.

NoteModifica

  1. ^ W. Rudin, Pag. 35.
  2. ^ W. Rudin, Pag. 68.
  3. ^ W. Rudin, Pag. 69.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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