Funzione a variazione limitata

In analisi matematica, una branca della matematica, una funzione di variabile reale si dice a variazione limitata se la sua "variazione totale" è finita. Intuitivamente, le funzioni a variazione limitata in una variabile sono quelle per cui la distanza percorsa da un punto che si muove lungo il suo grafico è finita in ogni intervallo finito. Una funzione che non è a variazione limitata è il cosiddetto "seno del topologo", cioè

La funzione non è a variazione limitata

se considerata in un qualsiasi intervallo che contenga lo 0, poiché all'avvicinarsi di a 0, la curva presenta infinite oscillazioni tra -1 e 1.

In più dimensioni il significato della definizione è lo stesso, tranne per il fatto che il cammino dell'ipotetico punto non può essere tutto il grafico della funzione (che sarà in generale una superficie o una ipersuperficie), ma sarà ogni intersezione di tale grafico con un piano parallelo agli assi.

Le funzioni a variazione limitata rivestono una notevole importanza nell'integrale di Riemann-Stieltjes e nel calcolo delle variazioni, poiché risultano essere le scelte naturali per trovare la soluzione in problemi di superficie minima come il problema di Didone.

DefinizioneModifica

Funzioni di una variabileModifica

Si definiscono innanzitutto le variazioni (rispettivamente positiva, negativa e totale) di una funzione definita in un intervallo chiuso e limitato a valori reali   come

 
 
 

dove   è un'arbitraria partizione dell'intervallo   e   il suo calibro (ossia l'ampiezza del massimo intervallo della partizione);   e   sono la parte positiva e parte negativa di una funzione.

Vale la relazione

 

e che se la funzione è monotona a tratti, allora la sua variazione totale è la somma delle variazioni in ogni singolo intervallino di monotonia.

Si dice dunque che   è a variazione limitata e si scrive   se  .

Si può provare che   è a variazione limitata se e solo se si può scrivere come differenza di due funzioni monotone non decrescenti (decomposizione di Jordan). Una possibile decomposizione è ad esempio

 

in quanto variazione positiva e negativa sono quantità sempre maggiori o uguali a zero, quindi monotone al crescere dell'intervallo. Per lo stesso motivo, nella definizione di  ,   e   si poteva prendere equivalentemente l'estremo superiore invece del limite superiore.

Funzioni di più variabiliModifica

Per funzioni di più variabili si possono dare due definizioni, che risultano equivalenti (  sarà un insieme aperto in  ):

  • Una   integrabile si dice a variazione limitata,  , se esiste una misura di Radon vettoriale finita   tale che
 ,
cioè   definisce un funzionale lineare sullo spazio delle funzioni vettoriali a supporto compatto.   rappresenta un gradiente debole di  .
  • Una   integrabile si dice a variazione limitata,  , se la sua variazione totale
 
è finita.

Equivalenza delle definizioniModifica

Supponendo sia valida la prima definizione, allora   è esattamente la norma del funzionale (visto come operatore lineare continuo) che esiste per ipotesi, dunque è necessariamente finita.

Il viceversa si ottiene dalla disuguaglianza

 

che implica che   è un funzionale lineare continuo sullo spazio  , che è un sottospazio lineare di  ; tale funzionale si estende allora per linearità e continuità a tutto lo spazio grazie al teorema di Hahn-Banach, quindi definisce una misura di Radon.

EsempiModifica

 
La funzione   è a variazione limitata

È già stato dato un esempio di funzione che non è a variazione limitata. La stessa funzione, però, è a variazione limitata in ogni intervallo   ad esempio, con  , poiché la "singolarità" è presente solo nell'origine. È quindi chiaro come questa sia una proprietà che dipende anche dalla forma del dominio.

Risulta essere a variazione limitata in   invece la funzione

 

Mentre pur essendo uniformemente continua non è a variazione limitata la funzione in  

 

perché l'integrale del modulo della derivata diverge.

Un'importante classe di funzioni che risultano essere a variazione limitata sono le funzioni integrabili con derivata a sua volta integrabile, cioè gli elementi dello spazio di Sobolev   (in una variabile e su un intervallo limitato, questa classe non è altro che la classe delle funzioni assolutamente continue, a meno di rappresentanti).

ProprietàModifica

In una variabile, dalla definizione risulta subito che una funzione BV è in particolare limitata. Inoltre, essa è derivabile quasi ovunque e ammette al più solo discontinuità di prima specie: questo discende dalla decomposizione di Jordan in differenza di due funzioni monotone (le funzioni monotone possiedono le proprietà dette). Risulta anche

 

con l'uguaglianza valida se e solo se la funzione è assolutamente continua.

Sempre riguardo alla decomposizione di Jordan,   e   sono le funzioni monotone "minimali" per cui valga la rappresentazione, nel senso che se

 ,

con   e   monotone, allora

  e  .

In generale, lo spazio funzionale   è uno spazio vettoriale: risulta essere uno spazio di Banach se munito della norma

 

Sempre riguardo agli aspetti di analisi funzionale, si dimostra anche che il funzionale variazione   è semicontinuo inferiormente rispetto alla norma di  , cioè se   in norma  , allora

 .

Per le funzioni BV vale una versione leggermente modificata della regola della catena: se   e   allora   e

 

dove

 

è il valor medio della funzione nel punto  . Da questo teorema discende anche che il prodotto di due funzioni BV è ancora BV; ciò rende lo spazio   un'algebra di Banach.

Osservazione: è possibile dimostrare che il prodotto di due funzioni a variazione limitata è ancora una funzione a variazione limitata senza fare ricorso alle derivate. In questo caso il risultato si estende alle funzioni a variazione limitata da un intervallo [0,T] a uno spazio di Banach X.

Voci correlateModifica

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