Funzione algebrica

In matematica, intuitivamente le funzioni algebriche si possono considerare come funzioni costruite attraverso un numero finito di applicazioni delle quattro operazioni dell'aritmetica, dell'elevamento a potenza e dell'estrazione della radice n-esima. Questo in prima approssimazione, perché le funzioni algebriche, nei casi irriducibili e per il teorema fondamentale della Teoria di Galois, non necessariamente sono espresse con radicali.

Con più precisione, si dice che una funzione f (x) è algebrica se soddisfa identicamente la relazione

dove p (x, y) è un polinomio in x e y con coefficienti interi.

Si noti che un qualsiasi polinomio è una funzione algebrica, poiché i polinomi sono semplicemente le soluzioni per y dell'equazione

Più in generale ogni funzione razionale è algebrica, essendo soluzione di

La radice n-esima di un qualunque polinomio è una funzione algebrica, poiché risolve l'equazione

La funzione inversa di una funzione algebrica è una funzione algebrica. Si supponga che y sia una soluzione di

per ogni valore di x, allora anche x è una soluzione di questa equazione per ogni valore di y. Infatti scambiando i ruoli di x e y e raccogliendo i termini,

si ottiene la funzione inversa, anch'essa algebrica, scrivendo x come funzione di y.

Comunque non tutte le funzioni hanno l'inversa. Per esempio, y = x2 non ha inversa perché non è iniettiva. L'inversa è la funzione algebrica . Questo è un esempio per capire come le funzioni algebriche, spesso, siano funzioni a più valori.

Un altro modo per capire questo punto, che diventerà importante in seguito, è che una funzione algebrica ha per grafico una curva algebrica.

Il ruolo dei numeri complessiModifica

Da una prospettiva algebrica, i numeri complessi sono uno strumento naturale per lo studio delle funzioni algebriche. Prima di tutto per il teorema fondamentale dell'algebra, i numeri complessi formano un campo algebricamente chiuso. Quindi ogni relazione polinomiale

p(y, x) = 0

ha sicuramente almeno una soluzione (e in generale un numero di soluzioni che non supera il grado di p in x) per y in ogni punto x, supposto che y possa assumere sia valori reali sia complessi. Così si risolvono i problemi relativi alla scelta del dominio delle funzioni algebriche.

Inoltre, anche se si opera con funzioni algebriche reali, un modo semplice per esprimerle è proprio l'utilizzo dei numeri complessi. Per esempio se si considera la funzione algebrica determinata dall'equazione

 

usando la formula per una cubica, una soluzione è

 

Non c'è modo di esprimere questa funzione utilizzando solo numeri reali, anche se la funzione risultante è a valori reali.

Inoltre l'uso dei numeri complessi permette di avere a disposizione le tecniche dell'analisi complessa per discutere le funzioni algebriche. In particolare, si può usare la formula di Cauchy per mostrare che ogni funzione agebrica è di fatto una funzione analitica.

Formalmente, sia p(xy) un polinomio complesso nelle variabili complesse x e y. Si supponga che x0 ∈ C sia tale che il polinomio p(x0,y) di y abbia n zeri distinti. Si può dimostrare che la funzione algebrica è analitica in un intorno di x0. Si scelga un sistema di n dischi non sovrapposti Δi, ciascuno contenente uno di questi zeri. Allora per la formula di Cauchy

 

Per continuità, ciò vale per ogni x in un intorno di x0. In particolare, p(x,y) ha una sola radice in Δi, data dal teorema del residuo:

 

che è una funzione analitica.

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