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In topologia, una funzione è aperta se l'immagine di ogni aperto è un aperto. Più formalmente, una funzione tra spazi topologici è aperta se per ogni aperto di la sua immagine è aperta in .[1]

ProprietàModifica

La definizione di funzione aperta è simile a quella di funzione continua (= la controimmagine di ogni aperto è un aperto). Nonostante possa sembrare più naturale parlare di immagini che di controimmagini, le funzioni aperte sono in topologia (e in matematica in generale) molto meno importanti delle funzioni continue.

Nella maggior parte dei casi, è necessario dimostrare che una funzione è aperta con lo scopo di verificare che sia un omeomorfismo. Infatti una   tra spazi topologici è un omeomorfismo se e solo se valgono le seguenti ipotesi:

  •   è biunivoca;
  •   è continua;
  •   è aperta o chiusa.

Infatti, se   è biunivoca, la sua inversa è continua se e solo se   è aperta. Inoltre, sempre se   è biunivoca, una funzione è aperta se e solo se è chiusa. Spesso è più facile dimostrare che è chiusa.

EsempiModifica

La proiezione del piano euclideo su uno dei due assi è aperta. In generale, la proiezione di uno spazio euclideo su un sottospazio (con la topologia del sottospazio) è aperta.

La parabola   data da   non è aperta, perché l'immagine dell'intervallo aperto   è l'intervallo  .

Esistono funzioni bigettive e continue non aperte. Ad esempio, prendiamo una qualsiasi corrispondenza biunivoca   fra i numeri interi   e i numeri razionali  . Poiché   ha la topologia discreta, la   è continua. D'altra parte,   non ha la topologia discreta, e quindi la   non può essere aperta. Esistono anche esempi di funzioni biunivoche e continue ma non aperte definite su uno spazio connesso, ad esempio  .

Fatti e teoremiModifica

NoteModifica

  1. ^ M. Manetti, p. 45.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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