Funzione associata di Legendre

I polinomi associati di Legendre sono polinomi definibili direttamente a partire dai polinomi di Legendre, il cui impiego è particolarmente utile nella descrizione delle armoniche sferiche e quindi nella loro applicazione in meccanica quantistica.

DefinizioneModifica

Sia l un intero naturale,   il polinomio di Legendre di ordine   ed m un intero compreso tra 0 ed l. Si definiscono le funzioni associate di Legendre come:

 

ovvero

 

Si estende la definizione a valori negativi del secondo indice tramite l'espressione

 

che conduce a

 

Queste definizioni permettono poi di esprimere le armoniche sferiche in funzione delle funzioni associate tramite la relazione

 

per valori positivi di m. Le armoniche sferiche con valori di m negativi sono tutte a coefficiente positivo (senza considerare quindi il comportamento del Polinomio di Legendre e della funzione esponenziale) e si ottengono dalla seguente relazione

 

Ne consegue quindi che per valori di m negativi le armoniche sferiche sono identiche alle stesse con m positivi fuorché in alcuni aspetti:

1) il segno del coefficiente è sempre positivo, anziché a segni alterni, poiché il termine (-1)^m nell'armonica sferica moltiplica lo stesso (-1)^m presente nella relazione sopra;

2) la funzione esponenziale ha il segno dell'esponente invertito, perché si richiede il complesso coniugato dell'armonica sferica. Ciò non grava sul polinomio di Legendre perché esso è a variabile reale.

Voci correlateModifica

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