Funzione beta di Eulero

La funzione beta di Eulero, detta anche integrale di Eulero del primo tipo, è data dall'integrale definito:

dove sia che hanno parte reale positiva e non nulla (in caso contrario, l'integrale divergerebbe). Questa funzione fu studiata per primo da Eulero e da Legendre, ma fu Jacques Binet a battezzarla con il suo nome attuale.

CaratteristicheModifica

È una funzione simmetrica, cioè il suo valore non cambia scambiando   e  :

 

inoltre valgono anche le due seguenti identità:

  •  
  •  

La funzione beta si può scrivere in molti modi, di cui i più comuni sono i seguenti:

 
 
 
 

dove   è la funzione Gamma e   è il fattoriale discendente, cioè  . In particolare, combinando la prima e la seconda forma si dimostra che  .

Così come la funzione gamma descrive i fattoriali dei numeri interi, cioè se l'argomento è un numero intero il suo risultato è il fattoriale di quel numero, la funzione beta (con un piccolo aggiustamento degli indici) descrive i coefficienti binomiali: più precisamente è

 

La funzione beta è stato il primo modello di matrice S nella teoria delle stringhe, congetturato per la prima volta da Gabriele Veneziano.

Relazioni fra la funzione gamma e la funzione betaModifica

Per ricavare la forma integrale della funzione beta, si può scrivere il prodotto di due fattoriali come:

 

Ora poniamo  ,   in modo che:

 

Trasformiamo in coordinate polari con  ,  :

 

e quindi riscriviamo gli argomenti nella forma solita della funzione beta:

 

DerivataModifica

La derivata della funzione beta può essere scritta sfruttando, di nuovo, la funzione gamma:

 

dove   è la funzione digamma.

IntegraliModifica

L'integrale di Nörlund-Rice è un integrale di circuitazione che coinvolge la funzione beta.

Funzione beta incompletaModifica

La funzione beta incompleta è una generalizzazione della funzione beta che sostituisce l'integrale definito della funzione beta con un integrale indefinito. È una generalizzazione del tutto analoga a quella della funzione gamma (la funzione gamma incompleta).

La funzione beta incompleta è definita come:

 

Per  , la funzione beta incompleta ridiventa la normale funzione beta.

La funzione beta incompleta regolarizzata (o più brevemente funzione beta regolarizzata) è definita in termini di entrambe le due:

 

Calcolando l'integrale per valori interi di   e  , si ottiene:

 

ProprietàModifica

 
 
 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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