Funzione càdlàg

In matematica, una funzione càdlàg (acronimo dal francese continue à droite, limitée à gauche, che significa continua a destra, limitata a sinistra; in italiano scritto talvolta cadlag) è una funzione di variabile reale che sia in ogni punto continua da destra e possegga limite sinistro finito.

Le funzioni di ripartizione sono un esempio di funzioni càdlàg

Funzioni càdlàg emergono naturalmente come funzioni di ripartizione. Compaiono quindi nello studio dei processi stocastici che ammettono traiettorie con discontinuità di prima specie.

EsempiModifica

Spazio di SkorokhodModifica

Lo spazio di tutte le funzioni càdlàg su un certo dominio   a valori nello spazio metrico   viene detto spazio di Skorokhod. Esso si denota con  . Tale spazio può essere munito di una topologia. Per semplicità, consideriamo come dominio l'intervallo   con   finito e come codominio lo spazio euclideo reale.

Dobbiamo prima definire un analogo del modulo di continuità. Per ogni  , sia

 

l'oscillazione di   su  ; per  , definiamo allora il modulo càdlàg come

 

dove l'estremo inferiore è fatto su tutte le partizioni   dell'intervallo   con mesh minore di  . Si può provare che   è càdlàg se e solo se   quando  .

Definiamo dunque la distanza di Skorokhod come

 ,

dove   è l'identità di  ,   è la norma uniforme e   varia sull'insieme di tutte le biiezioni continue strettamente monotone su  . Si dimostra che effettivamente   è una metrica. La topologia indotta è detta topologia di Skorokhod.

Intuitivamente, il termine   misura la "distorsione nel tempo" e il termine   la "distorsione nello spazio".

ProprietàModifica

Lo spazio   contiene lo spazio   delle funzioni continue. Su tale sottospazio la topologia di Skorokhod e la topologia uniforme coincidono.

La metrica   non rende lo spazio di Skorokhod completo; tuttavia esiste una metrica equivalente a   per cui ciò è vero. Tale metrica (e dunque anche  ) rende inoltre   uno spazio separabile e quindi uno spazio polacco.

Come applicazione del teorema di Ascoli, si può mostrare che una successione di misure di probabilità su   è tight se solo se sono verificate le seguenti due condizioni:

  •  
  •  

con la seconda valida per ogni  .

NoteModifica

  1. ^ Questo vale se, come largamente in uso, si definisce una funzione di ripartizione mediante la formula  . La proprietà cade se si definisce  , in quanto essa risulta essere una funzione continua a sinistra e con limite finito a destra.

BibliografiaModifica

  • Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-00710-2.

Voci correlateModifica

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