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In matematica, una funzione contrattiva è una funzione tra spazi metrici che accorcia le distanze tra punti, ma in maniera più debole rispetto ad una contrazione.

Più precisamente, funzione tra spazi metrici si dice contrattiva se

per ogni in tali che (se il secondo membro è nullo e dunque si otterrebbe , che è un assurdo).

Una funzione contrattiva è in particolare una funzione continua.

Ogni contrazione è anche una funzione contrattiva. Un esempio di funzione contrattiva che non è una contrazione è la funzione sullo spazio (dotato della metrica euclidea).

TeoremaModifica

Se   è uno spazio metrico,   un suo sottoinsieme compatto e   una funzione contrattiva, allora   ammette uno e un solo punto fisso, cioè un   in   tale che  .

Dimostrazione

Sia  . Proviamone la continuità: sia   una successione in   convergente ad un  . È

 , cioè  .

Analogamente si giunge a

 , dunque vale che
 .

Ma il secondo membro è infinitesimo al divergere di   per le ipotesi su   e per la continuità di  , dunque  , cioè   è continua. Essendo definita su un compatto,   ammette minimo in  . Supponendo per assurdo  , abbiamo che

 , contraddicendo l'assunzione che   raggiunga il suo minimo in  : dunque  .

Per l'unicità, se   è un altro punto fisso per  , allora

 , che è impossibile.

CorollarioModifica

Se   è uno spazio metrico,   un suo sottoinsieme compatto e   è tale che l'iterata   è contrattiva per qualche   naturale, allora   ammette un unico punto fisso.

Dimostrazione

Per   si può applicare il teorema precedente, dunque esiste un unico punto   tale che  . Applicando ora la   a entrambi i membri otteniamo

 , cioè  .

Ma allora anche   è un punto fisso per  , dunque per l'unicità del punto fisso per   abbiamo  .

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