Funzione di Carmichael

In matematica, e in particolare nella teoria dei numeri, la funzione di Carmichael $\lambda (n)$ è una funzione aritmetica che prende nome dal matematico statunitense Robert Daniel Carmichael (1879-1967).

Definizione

La funzione di Carmichael associa a ogni intero positivo $n$ un intero positivo $\lambda (n)$, definito come il più piccolo intero positivo $m$ tale che

$a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}.$

Calcolare $\lambda (n)$ con il teorema di Carmichael

Sia $n$ intero positivo e sia $n=p_{1}^{a_{1}}\cdot \ldots \cdot p_{r}^{a_{r}}$ la fattorizzazione in primi di $n$. Si ha:

$\lambda (n)=\operatorname {mcm} {\big (}\lambda (p_{1}^{a_{1}}),\,\lambda (p_{2}^{a_{2}}),\,\ldots ,\,\lambda (p_{k}^{a_{k}}){\big )}.$

dove $\operatorname {mcm}$ indica il minimo comune multiplo in $\mathbb {Z}$.

Il teorema di Carmicheal indica come calcolare $\lambda (n)$ se $n=p^{k},$ con $p$ primo e $k$ intero positivo:

$\lambda (p^{k})={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}\varphi (p^{k})&{\text{ se }}p=2{\text{ e }}k\geq 3\\\varphi (p^{k})&{\text{ altrimenti, }}\end{cases}}$

dove $\varphi$ è la funzione φ di Eulero che per una potenza di un primo è data da:

$\varphi (p^{k})=p^{k-1}(p-1).$

Proprietà

Sia $\varphi$ la funzione φ di Eulero, si ha che $\lambda (n)$ è un divisore di $\varphi (n)$.

Si ha che $\lambda (n)$ è l'esponente (minimo comune multiplo degli ordini o periodi degli elementi) del gruppo delle unità (gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili) di $\mathbb {Z} _{n}$.

Voci correlate

• Minimo comune multiplo
• Numero di Carmichael
• Numero primo
• Funzione φ di Eulero