Funzione di Landau

La funzione di Landau g(n) è definita per ogni numero naturale n che è il più grande ordine di un elemento del gruppo simmetrico Sn. Equivalentemente, g(n) è il più grande minimo comune multiplo di una qualunque partizione di n.

Ad esempio, 5 = 2 + 3 e mcm(2,3) = 6. Nessun'altra partizione di 5 porta ad un minimo comune multiplo più grande, dunque g(5) = 6. Un elemento di ordine 6 nel gruppo S5 può essere scritto come (1 2) (3 4 5).

I valori che assume la funzione di Landau in corrispondenza dei primi numeri naturali è

1, 1, 2, 3, 4, 6, 6, 12, 15, 20, 30, 30, 60, 60, 84, 105[1]

La sequenza prende il suo nome da Edmund Landau, il quale dimostrò nel 1902[2] che

(dove ln indica il logaritmo naturale).

L'affermazione

per ogni n, dove Li-1 indica l'inverso della funzione logaritmo integrale, è equivalente all'ipotesi di Riemann.

NoteModifica

  1. ^ (EN) Sequenza A000793, in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  2. ^ E. Landau, Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grades [On the maximal order of permutations of given degree], Arch. Math. Phys. Ser. 3, vol. 5, 1903, pp. 92-103

BibliografiaModifica

  • W. Miller, The maximum order of an element of a finite symmetric group , American Mathematical Monthly, vol. 94, 1987, pp. 497-506.
  • J.-L. Nicolas, On Landau's function g(n), in The Mathematics of Paul Erdős, vol. 1, Springer Verlag, 1997, pp. 228-240.

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