Funzione di Ljapunov

In matematica, la funzione di Ljapunov, introdotta dal matematico e fisico russo Aleksandr Michajlovič Ljapunov, è una funzione scalare utilizzata per studiare la stabilità di un punto di equilibrio di un sistema dinamico, generalmente descritto da un'equazione differenziale ordinaria autonoma. L'esistenza di una funzione che soddisfa particolari proprietà, la funzione di Ljapunov, garantisce la stabilità di un particolare punto di equilibrio. Condizioni più deboli per la funzione di Ljapunov sono fornite ad esempio dal teorema di LaSalle (in cui non deve essere definita positiva).

DefinizioneModifica

Dato un sistema dinamico:

 

sia   un punto fisso (punto di equilibrio):

 

dove si è supposto  , definita in un intorno   di  , una funzione continua e differenziabile con continuità rispetto a  .

Una funzione scalare   è detta funzione di Ljapunov se:

 
 

e:

 

Il lemma di Ljapunov stabilisce che se la funzione   esiste, allora il punto di equilibrio   è stabile (secondo Ljapunov).

EsempioModifica

Dato il sistema di Lotka-Volterra:

 

si ha che, moltiplicando   per   e   per   e poi sottraendole, un suo integrale primo è:

 

La funzione   definita da:

 

è una funzione di Ljapunov del sistema per il punto  . Infatti:

  •  
  •   poiché   è un punto di minimo globale.
  •  

Di conseguenza, il punto   è stabile.

BibliografiaModifica

  • Alessandro Giua, Carla Seatzu, Analisi dei sistemi dinamici, Springer, 2006, ISBN 978-88-470-0284-5.
  • C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica volume 2, MASSON, 1998.
  • (EN) Khalil, H.K., Nonlinear systems, Prentice Hall Upper Saddle River, NJ, 1996.

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